2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.2.3 椭圆的参数方程 Word版含答案.pdf

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1、2．3椭圆的参数方程1．椭圆的参数方程(1)椭圆的中心在原点x2y2x＝□01acosφ，标准方程为＋＝1，其参数方程为(φ为参数)．a2b2y＝□02bsinφ参数φ的几何意义是□03以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角．(2)椭圆方程不是标准形式x－x2y－y2其方程也可表示为参数方程的形式，如0＋0＝1(a＞b＞0)，参数a2b2x＝□04x＋acosφ，0方程可表示为(φ为参数)．y＝□05y＋bsinφ02．以AP的斜率k为参数的椭圆参数方程为1－k2ax＝□06，1＋k2(k为参数)．2kby＝□071

2、＋k21．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)x2y2x＝3cosφ，(1)＋＝1的参数方程为(φ为参数)．()916y＝4sinφx＝4cosφ，x2y2(2)(φ为参数)的普通方程为＋＝1．()y＝5sinφ1625x＝acosθ，π(3)椭圆(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则(0，b)对应的θ＝．()y＝bsinθ2答案(1)√(2)√(3)√2．做一做x＝4cosφ，(1)椭圆(φ为参数)的离心率为()y＝5sinφ4331A．B．C．D．5545答案B解析由椭圆方程知a＝5，b＝4，3∴c2＝9，c＝3，e＝．5x＝acosθ

3、，(2)椭圆(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a，0)对y＝bsinθ应的θ＝()π3πA．πB．C．2πD．22答案A解析∵点(－a，0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1．∴θ＝π．x＝16cosφ，(3)参数方程(φ为参数)的焦点坐标为________．y＝9sinφ答案(57，0)，(－57，0)x＝16cosφ，x2y2解析(φ为参数)的普通方程为＋＝1，y＝9sinφ16292∴a＝16，b＝9，c＝57．∴焦点坐标为(57，0)，(－57，0)．x＝2cost，(4)已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M

4、，N在椭圆上，对y＝4sintππ应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．36答案－2πx＝2cos＝1，π3解析当t＝时，3πy＝4sin＝23，3即M(1，23)，同理N(3，2)．23－2k＝＝－2．MN1－3探究1椭圆的参数方程的应用：求最值x2y2例1已知实数x，y满足＋＝1，2516求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．x2y2x＝5cosφ，解椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)．2516y＝4sinφ代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝52＋82cos(φ＋φ)08＝89cos(φ＋φ)tanφ＝．005

5、所以目标函数z＝－89，z＝89．minmax利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．x2y2【跟踪训练1】已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3，0)．在椭圆上找一2516点P，使点P与点A的距离最大．x＝5cosθ，解椭圆的参数方程为(θ为参数)．y＝4sinθ设P(5cosθ，4sinθ)，则

6、PA

7、＝5cosθ－32＋4sinθ2＝9cos2θ－30cosθ＋25＝3cosθ－52＝

8、3cosθ－5

9、≤8，当cosθ＝－1时，

10、P

11、A

12、最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5，0)．探究椭圆参数方程的应用：求轨迹方程2x2y2例2已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭369圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．解由题意知A(6，0)，B(0，3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得6＋0＋6cosθx＝3，x＝2＋2cosθ，即0＋3＋3sinθy＝1＋sinθ.y＝，3x－22消去参数θ得到＋(y－1)2＝1．4由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可

13、设出点C坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．本例的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．x2y2【跟踪训练2】已知椭圆方程是＋＝1，点A(6，6)，P是椭圆上一动169点，求线段PA中点Q的轨迹方程．解设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有4cosθ＋6x＝，x＝2cosθ＋3，2即3(θ为参数)．3sinθ＋6y＝2sinθ＋3y＝，2∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．探究椭圆参数方程的应用：证明等式3或求最值x2例3已知椭圆＋y2＝1上