2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.2.2 圆的参数方程 Word版含答案.pdf

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1、2．2圆的参数方程1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r，设点P(x，y)是圆周上任意一点，即x＝□01rcosα，(α为参数)．这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．参y＝□02rsinα数α的几何意义是□03OP与x轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a，b)为圆心，r为半径的圆，普通方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的参数x＝□04a＋rcosα，方程为(α为参数，a，b是常数)．y＝□05b＋rsinα3．圆的圆心在原点，半径为r，它与x轴负半轴的交点为A

2、(－r，0)，点P(x，1－k2rx＝□06，1＋k2y)是圆周上任意不同于A的一点，此时，圆的参数方程是(k2kry＝□071＋k2为参数)．参数k的几何意义是直线AP的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线的参数方程一定是唯一的．()x＝t，(2)若(2，a)在曲线(t∈R)上，则a＝4．()y＝t2x＝3＋6cosθ，(3)圆心为(3，4)，半径为6

3、的圆的参数方程为(θ为参y＝4＋6sinθ数)．()x＝4cosθ，x＝4cosθ，(4)参数方程(θ∈[0，2π))与y＝4sinθy＝4sinθπθ∈0，是表示同一曲线．()2答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．做一做x＝cosθ，(1)参数方程(θ为参数)表示的曲线是()y＝sinθA．直线B．线段C．圆D．半圆答案Cx＝t＋1，(2)参数方程(t为参数)表示的曲线必过点()y＝t2＋2tA．(1，2)B．(－2，1)C．(2，3)D．(0，1

4、)答案C1x＝t＋，(3)已知点M(2，－2)在曲线C：t(t为参数)上，则其对应的参数y＝－2t的值为________．答案1x＝2＋t，(4)满足条件的t的每一个值所确定的点M(x，y)在怎样的曲线y＝1－t上？上式能否称为该曲线的参数方程？x＝2＋t，解由得x＋y＝3．y＝1－t所以点M在直线x＋y－3＝0上．x＝2＋t，而直线x＋y－3＝0上任一点(x，y)可由t＝x－2得到y＝1－t，即y＝1－t.因此，该式为直线x＋y－3＝0的参数方程．探究圆的参数方程1x＝co

5、sθ，例1已知点P(2，0)，点Q是圆(θ为参数)上一动点，求PQy＝sinθ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解设中点为M(x，y)，2＋cosθ1x＝，x＝1＋cosθ，22即0＋sinθy＝1sinθ.y＝，221它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以为半径的圆．2解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．【跟踪训练1】(1)已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程；(2)圆(

6、x－r)2＋y2＝r2(r>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．解(1)x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，设x－1＝cosθ，y＝sinθ，则x＝1＋cosθ，参数方程为(0≤θ<2π)．y＝sinθ(2)如图所示，设圆心为O′，连接O′M，∵O′为圆心，x＝r＋rcos2φ，∴∠MO′x＝2φ，∴y＝rsin2φ.探究圆的参数方程的应用2x＝cosθ，例2已知点P(x，y)是圆(θ为参数)上的动点．y＝1＋sinθ(1)求3x＋y的取值范

7、围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．x＝cosθ，解(1)∵P在圆上，y＝1＋sinθπ∴3x＋y＝3cosθ＋sinθ＋1＝2sinθ＋＋1．3∴－2＋1≤3x＋y≤2＋1．即3x＋y的取值范围为[－1，3]．(2)∵x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1．π又－(cosθ＋sinθ)－1＝－2sinθ＋－1≤2－1，4∴a≥2－1，即a的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的

8、坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．x＝1＋cosθ，【跟踪训练2】(1)设方程(θ为参数)表示的曲线为C，求y＝3＋sinθ在曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标；(2)若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．解(1)∵OP2＝(1＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2＝5＋23sinθ＋2cosθ＝5＋π4π134s