人教B版2020年高中数学必修5学案：3.4不等式的实际应用_含答案.doc

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1、3.4不等式的实际应用课堂探究一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．(

2、2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．二、常见的不等式实际应用类型剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：(1)作差法解决实际问题作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b，其基本步骤是：①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．②作差，分析差的符号．③将作差

3、后的结论转化为实际问题的结论．(2)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式：a，b＞0，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2．②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．(3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解所列的一元二次不等式得到实

4、际问题的解．名师点拨：在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．题型一　一元二次不等式的实际应用【例1】某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．解析：要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2．答案：2题型二　利用均值不等式解应用题【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0．9

5、万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y．列出函数关系式，再求解．解：设汽车使用的年数为x．由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3．当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即

6、y取最小值．答：汽车使用10年时年平均费用最少．反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．题型三　易错辨析【例3】甲、乙两地水路相距skm，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量pkm/h，船在静水中的最大速度为qkm/h(q>p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k．(1)把全程燃

7、料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为h，则y＝k·v2·＝．故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p>0，故有＝ks·＝ks≥ks(2p＋2p)＝4ksp，当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．所以当船的实际前进速度为pkm/h时，全程燃料费用最少．错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2pkm/h应不超过qkm/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2

8、p≤q和2p>q两种情况进行讨论．正解