利用解递推关系法计算行列式.pdf

《利用解递推关系法计算行列式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG利用解递推关系法计算行列式孙多青!"#"郭亚君!"马晓英$%!河北科技师范学院数理系"河北秦皇岛&’’&&()#中国空间技术研究院北京控制工程研究所)$河北科技师范学院图书馆*摘要+给出了利用组合数学中解递推关系的两种方法来计算行列式的一种途径"给出并证明了行列式的递推关系式的一般项,构成的数列的普母函数的表达式.-关键词+行列式)计算方法)解递推关系法)普母函数法中图分类号+/#(!0’文献标识码+1文章编号+!’2#3245$%#&&(*&!3&&$

2、#3&(利用递推法解行列式的步骤为+利用已给行列式,的特点"设法找出,与低阶行列式之间的递--推关系.由此迭代出,与可明显求值的低阶行列式的关系"往往还要用数学归纳法进行证明"笔者则-给出了如下直接计算行列式的方法.6利用线性递推关系的求解公式先转述如下定义定义形如7-89!7-:!;9#7-:#;<;9=7-:=->=%!*=9!"<9=为常数的递推关系称为常系数齐次线性递推关系.若9=?&"称%!*为=级递推关系.方程@:=:!9!@:<:9=8&称为%!*的特征方程"它的根称为%!*的特征根.定理!设=级递推关系%!*的特征根A互异"则对任意常数B!"A#"<"A=!"<"

3、B="=-7-8CBDAD%#*D8!是%!*的解"且递推关系的任一解均可写为这种形式.举例如下+例!计算下列行列式9;E9E&!9;E9E!FF,-8FFFFF9E&!9;E其中未写出的元素全为&"%9?E*.解+将,依第一行展开"得-,-8%9;E*,-:!:9E,-:#解上述递推关系"其特征方程为#@:%9;E*@;9E8&特征根为+@于是,的通解为!89"@#8E"---,-8B!9;B#E因为,#!89;E",#8%9;E*:9E收稿日期+#&&$3!#3#4)修改稿收到日期+#&&(3&4"期孙多青等利用解递推关系法计算行列式33+!"#$!%&’#$&所以*%

4、%%,!"#$!%&’(#$&)-#&#-&故有!"’.!%’#-&#-&0$"0$"#-&于是/0’(#1&)#-&注2#’&时.可用下面的公式(3)求出/的表达式.此处从略408定理%设5级递推关系(")的全部不同的特征根为6".6%.7.68.其重数分别为9".9%.7.98.:9;;’"’5.则(")的通解为98;=-"0<0’:(:!;=0)6;(3);’"=’"其中诸!为常数4;=举例如下2例%计算下列行列式%">"%????/0’????%">"%解2依第一行展开.得/0’%/0-"-/0-%解上述递推关系.其特征方程为@%-%@$"’>特征根为@于是/的通解为/0

5、"’@%’".00’(!"$!%0)A"’!"$!%0+!"$!%’%+!"’"因为./"’%./%’3.故*.即*,!"$%!%’3,!%’"于是/0’0$"B利用普母函数法计算行列式D设#是一个无穷数列.则称形式幂级数C(@)’:0为该数列的普母函数.简称母函数4>.#".7.#0@0’>定理3设0阶行列式/满足如下递推关系20/0’#"/0-"$#%/0-%$7$#5/0-5"E5E0(F)则/的普母函数为"./%D%50/"@$(/%-#"/")@$7$(/5-#"/5-"-7-#5-"/")@C(@)’:/0@’%5(G)0’""-#"@-#%@-7-#5@证明2因为D

6、0C(@)’:/0@0’"D0$"-#"@C(@)’:(-#"/0)@0’"7777D5-"0$5-"-#5-"@C(@)’:(-#5-"/0)@0’"D50$5-#5@C(@)’:(-#5/0)@0’"24河北科技师范学院学报#F卷将上述各式相加!得’)"#$%#&$%’&$($%)&*+"&*....//1#/1)$#/1),-0/&$%#-0/&$($%)$#-0/&$%)-0/&/,#/,#/,#/,#..’)/’2)/1#,0#&10’&1(10)&1-0/&$%#0#&$%#0’&$($%#0)$#&$%#-0/&$($/,)1#/,)..)/1)$#/1)%)$#0

7、#&$%)$#-0/&$%)-0/&/,’/,#.’)’2))/,0#&10’&1(10)&$%#0#&$%#0’&$($%#0)$#&$($%)$#0#&1-0/&$/,)1#.../1#/1)$#/1)%#-0/&$($%)$#-0/&$%)-0/&/,)/,’/,#.’)3,0#&1"0’$%#0#*&1(1"0)$%#0)$#$($%)$#0#*&1-"03$%#03$#$($%)03$)*&3,)1#根据"4*式!得03$%#03$#$($%)03$),5因此"#$%’