应用数值分析(第四版)课后习题答案第10章.doc

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1、第十章习题解答1、用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题取，并将计算结果与精确值相比较。解：,由Euler公式及改进的Euler方法，代入，有，依次计算结果如下为Euler方法的结果，为改进的Euler方法的结果，为精确解。2、用梯形公式求解初值问题证明其近似解为。证明：采用梯形公式得近似解为，因此可得。证毕。3、试用Euler公式计算积分在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。解：由Euler公式得，计算可得4、定初值问题试用Taylor展开法导出一个三阶的显式公式。解：由Taylor公

2、式，并代入可得故三阶的显式公式为5、已知初值问题试分别用改进的Euler方法和四阶R-K方法求解此问题，取步长为.解：,由改进的Euler方法和四阶R-K方法，代入，计算可得其中为改进的Euler方法的结果，为四阶R-K方法的结果。4、试证明对任意的参数a，以下Runge-Kutta公式是一个二阶公式，并导出其数值稳定条件。证明：将做二元Taylor展开代入得再将在点展开，式中代入后有故，即对任意的参数a，公式是二阶公式。下面讨论公式的数值稳定条件:取模型方程,将代入得到再代入得到于是绝对稳定区为4、

3、试证明以下Runge-Kutta公式是一个三阶公式，并导出其数值稳定条件。证明：将做三元Taylor展开代入得再将在点展开式中代入后有故，即公式是三阶公式。下面讨论公式的数值稳定条件:取模型方程,将代入得到再代入得到于是绝对稳定区为4、用Euler方法求解下列问题，从数值稳定性条件考虑，对步长应做什么限制？（1）（2）解：由Euler公式对（1），若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为，两式相减得到故当时，（1）用Euler方法求解是数值稳定的。对（2），若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为

4、，两式相减得到故当时，（2）用Euler方法求解是数值稳定的。4、用二阶的Adams预估校正公式求解初值问题取步长，求出时的近似值，表头用改进的Euler方法（保留小数点后三位）。解：计算结果如下：10、对初值问题用以下二阶R-K方法求解，并导出其绝对稳定域。解：，代入二阶R-K方法可得，若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为，两式相减得到，于是，其绝对稳定区为。11、试推导三阶的Adams显式和隐式，并写出其带修正的预估校正公式。解：三阶Adams显式公式的推导:由公式，取作差值节点，得将代入公

5、式，并作代换可得局部截断误差为三阶Adams隐式公式的推导:由公式，取作差值节点，得将代入公式，并作代换可得局部截断误差为带修正的预估校正公式：表头：三阶R_K公式P：M：)（第一次修正值取0）E：C：M：E：，为下一步计算用