矢量的外积与麦克斯韦方程组.doc

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1、矢量的外积与麦克斯韦方程组  标签：哲学物理2013-12-2900:27星期日　　 （本文偏重理论，且需要一定的空间想象能力，数学基础差者慎入） 如图所示，x0、x1与xn分别是无穷维希尔伯特空间（记做H）的一组标准正交基中的某三个单位基矢量，用x0、x1与xn代表H的某三个维度。将x0与x1所确定的二维空间记做X，矢量a与矢量b是平面X中的矢量。 矢量的外积也叫矢量的叉积或矢量的叉乘，a×b就是矢量a与矢量b的外积，a×b的模被定义为

2、a

3、

4、b

5、sinθ，a、b与a×b这三者之间的关系满足右手定则。

6、 既然X是H的某两个维度所确定的二维空间，那么X中任意两个矢量的外积究竟还是不是矢量呢？矢量a与矢量b的外积a×b显然并不在平面X中，而是正交于平面X的，问题是在H的背景下，a×b究竟指向哪个维度？ 如果令n=2，则x0、x1与x2这三个维度可以形成一个三维欧几里得空间，记做E2；如果令n=3，则x0、x1与x3这三个维度可以形成一个三维欧几里得空间，记做E3；……由此得到一系列的E2，E3，……都是同一个H的不同的三维完备子空间。 单独看E2，因为平面X肯定是E2的一个二维完备子空间，所以在E2中a×

7、b的方向确实是x2的正方向，显然a×b是E2中的矢量。单独看E3，因为平面X肯定是E3的一个二维完备子空间，所以在E3中a×b的方向确实是x3的正方向，显然a×b是E3中的矢量。……单独看En，因为平面X肯定是En的一个二维完备子空间，所以在En中a×b的方向确实是xn的正方向，显然a×b是En中的矢量。……这说明平面X中的矢量a与b的外积a×b可以指向H中的一切与X正交的维度方向。 在H的背景下，a×b并不是一个传统意义上的矢量，因为a×b的方向不是唯一的，但是单独去看E2，E3，……中的任意一个三维

8、空间，我们会发现a×b确实是一个标准的矢量，因为a×b的大小和方向都是唯一确定的。 那么a×b到底是不是一个矢量呢？实际上我们用现有的矢量外积的概念并不能很好地回答这个问题，需要对这里面的数学进行一些拓展。 我们能为矢量a与矢量b的外积a×b在H中确定出唯一的维度方向吗？这显然是不可能的，因为a×b的维度方向取决于我们对H的三维子空间的选择，所以在H的背景下，a×b的方向只能是主观的，除非我们可以使用复维度。 回忆一下我们是如何引进复坐标系的。假设x是一个实空间维度，ix是一个复空间维度，在H中，ix究

9、竟指得是哪个维度呢？显然复维度ix并不特指H中的任何维度，但ix却可以代表H中任意一个与x正交的维度。 我们在复平面中可以定义二维复矢量，比如a+ib就是一个二维复矢量，其中a与b都是实数，i是虚数单位。在H的背景下，虚数ib被赋予了一个方向集，这个方向集中的任意一个元素都与x这个实空间维度正交。 在H的背景下，虽然ib对应着一个具有无穷多元素的方向集，但我们还是可以将a+ib看作由x与ix这两个维度所确定的复平面中的复矢量，这并不会带来任何麻烦，反而解决了很多问题。 同理，我们也可以将矢量a与矢量b的

10、外积a×b的方向看作复维度方向，就像复平面中ib的方向虽然在本质上对应着一个方向集，但我们却可以认为ib具有唯一的复方向一样，虽然a×b的方向也对应着由H中任意一个与x0和x1都正交的方向所组成的集合，但我们同样可以将a×b的方向看做唯一的复方向，使得a×b成为一个复矢量。 可以认为存在一个复三维空间，记做iE，iE是由x0与x1这两个实维度加上ix这个复维度组成的。在iE中，外积a×b就是一个复矢量，方向指向复维度ix的正方向。 在H的背景下，外积a×b的方向只能是复方向。比如在由x0、x1与x2这三

11、个实维度组成的三维实空间E2中，外积a×b的方向当然也可以是x2的正方向，但只有认为外积a×b的方向是ix这个复方向才是全面的，因为ix这个复维度确实已经在无穷维的层面中包含了E2中的x2这个实维度了，所以外积a×b在本质上确实应该是一个复矢量。 现在做一下推广。考虑任意三维实空间En，将En中的三个单位基矢量x0、x1与xn进行旋转变换，得到三个新的单位基矢量，记做y0、y1与yn，将坐标变换后的实三维空间记做V，这样矢量a与矢量b就不能看作是由y0与y1这两个维度所确定的平面中的矢量了，它们可以是V

12、中的任意矢量，对V中的任意矢量求外积会如何呢？ 将V中的任意一对矢量a与b所确定的平面记做M，在V中对a与b求外积，显然会得到一个正交于M的矢量，记做c，c是V中的实矢量。 在H的背景下，我们不能因为将En的坐标系稍微做一下旋转变成V，就认为H中除V之外的其它空间中的矢量都消失了。因为V中的任意两个矢量都可以再通过坐标变换成为由H的一组标准正交基中的一对单位基矢量所确定的平面中的两个矢量，所以V中的任意矢量a与b的外积a×b的方向并不会因为