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1、2013-2014学年度第一学期如皋市第二中学高三年级第一次学情检测考试数学试题命题人：刘正岳审核人：高三文科数学组一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.若全集为实数集，集合=2.函数则的值为 3.已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为,则该圆锥的侧面积为__________4.△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，若，且，则△ABC的面积等于5.已知，则的值为6.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为7.若命题“,使得”为假命题,则实数的范围________8.设表示两条直线,表示两个平面
2、,现给出下列命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中正确的命题是___________.(写出所有正确命题的序号)【答案】④9.在中，若,，则10.观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为11.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是12.已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为13.已知函数，设，若，则的取值范围是14.若函数满足，且，则_二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递
3、增，在区间上单调递减.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，证明为等边三角形．解：（Ⅰ）………………………………………………………3分………………………………………………………………………5分所以………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：，…………………………8分因为,,所以…………………………9分由余弦定理知：………………………………………10分所以因为，所以，即：所以………………………………………………………11分又，所以为等边三角形.…………………………………………………12分16.在底面为平行四边形的四
4、棱锥中，，平面，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面.解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，------------2分在三角形DPB中，EF为中位线，EF//PB,--------4分F又，平面；--------6分w（2）平面，------------8分又，------------10分------------12分17.如图，半径为1圆心角为圆弧上有一点C．（1）当C为圆弧中点时，D为线段OA上任一点，求的最小值.AEDCB（2）当C在圆弧上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求·的取值范围．解：（1）以O为原点，以为x
5、轴正方向，建立图示坐标系，设D（t，0）（0≤t≤1），C（）………………………2′∴=（）∴==（0≤t≤1）…4′当时，最小值为…………………………6′（2）设=（cosα，sinα）（0≤α≤π）=（0，）—（cosα，sinα）=（）………8′又∵D（），E（0，）∴=（）…………………………10′∴·==…………12′∵≤≤…………………………13′∴·∈[]…………………………14′18．已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项
6、，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.解：（Ⅰ），……………………………………………3分因为为方程的两个不相等的实数根.所以，……………………………………………………………4分解得：，,所以：……………………………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是…………9分………………………………12分19.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，
7、公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．公路公路l1BFCEl2DA（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．（Ⅰ）如图，过作，垂足为，由题意得，公路公路l1BFCEl2DAM故有，，．4分所以5分．8分（Ⅱ）设(其中)，则．10分令得，即，得．11分列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．15分答：排管的最小费用为万元，相应的角．16分20.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.解:（Ⅰ）…………………………
8、……………2分①当时，恒有，则在上是增函数；………………………4分②当时，当时，，则在上是增函
