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《高中数学数列易错题与数列求通项九大类型.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、易错题1.已知是数列的前项和，且满足，其中，又，求数列的通项公式。2.若数列是等差数列，数列满足（），的前项和为，已知，试问为何值时，取得最大值？并证明你的结论。3.已知等差数列的首项=1，公差>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项。①求数列与的通项公式；②设数列对均有易错题答案1.错解：当时，由已知得又，所以于是两式相减得，，即于是所以两式相减得所以成等差数列，公差为6，也成等差数列，公差为6，从而成等差数列，公差为6，所以，正解：当时，由已知得又，所以于是，两式相减得：，即于是，所以，又又，所以则时2.错解：因为，可知是首项为正数
2、的递减数列。正解：3.解：①由已知有：②错解：②正解：总结提高1．给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一2．由求时，要分=1和两种情况3．数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。4．给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用（）转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求。数列求通项的九种类型1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得即
3、：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2.已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例3．已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：例4．已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求
4、和。例5、已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列{an}的通项
5、公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得=所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以
6、.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.例2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案4.形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.5．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
7、（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1．已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.方法二：由时
