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1、值域的求解一、知识梳理：1、函数值域的定义：在函数中，与自变量x的值对应的y的取值的集合，叫做函数的值域。2、函数的最值：对于函数，.若对于任意的都有M(M)且存在,使得成立，则M叫做的最大（小）值.统称函数的最值。3、确定函数的值域的原则：当函数是用表格给出时，其值域是表格中所有实数y的值的集合。当函数是以图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的值的集合。函数用解析式给出时，函数的值域由定义域及其对应法则唯一确定。当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。4、常用方法：Ⅰ、基本函数性质法（
2、直接法）对于基本初等函数以及由它们组成的简单函数的值域的求解，常利用函数的单调性及不等式的性质直接观察求解。例1：求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）(5)函数的定义域是，则其值域为（6）函数=的值域是练习：1、设函数的定义域为R,有下了三个命题：①若存在常数M，使得对任意,有M，则M是函数的最大值。②若存在,使得对任意，且，都有，则是函数的最大值。③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值。其中正确的是（）A.①B.①②C.②③D.①②③2、若函数=在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=3、函数=在[0,
3、1]上的最大值和最小值之和为a,则a=Ⅱ.配方法：针对于给定区间上的二次函数或形如“的函数值域的求解，其关键是分析对称轴与所给定义域的关系。例2：求下列函数的值域：①②③④=，⑤设，求函数=的最值。⑥已知=2+求函数的最大值。练习：1.函数=在[]上的值域为[-5,4],则m+n的值所成的集合为（）A,[0,6]B.[-1,1]C.[1,5]D.[1,7]2.函数=2+，的值域为3.若不等式对一切恒成立，则a的取值围是4.已知函数在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的最值围是（）A.B.C.D.Ⅲ.换元法：运用代数
4、或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一类函数，从而求得值域的方法，一般地，形如：（a,b,c,d均为常数，且ac0）的函数常用代数换元，函数中出现或得条件或某些特定的条件最值问题常用三角函数换元.例3：求下列函数的值域①②例4：已知实数x,y满足，①求2x+y的取值围②若x+y+C0恒成立，数C的取值围。练习：1.求下列函数的值域①②③2.已知，求2x+3y的取值围。3.求证：4.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为()(A)(B)(C)(D)Ⅳ.分离常数法：针对形如=(a,c均不为0)的函数值域的求解（除外，x没
5、有其他限制条件）处理方法：将分子化为分母的一次函数形式，利用分数的运算法则还原，使得自变量在分子中消失，把自变量的系数分离出来。例5：求函数=的值域练习：1.求下列函数的值域：①②③2.若=在上单调递减，则实数a的取值围Ⅴ.判别式法：把原函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，一般地形如：，（不同时为0）的函数值域常用此法求得。注意：若的分子，分母有公因式可约，则约去公因式后应用分离常数法，但要注意约去公因式的条件，要将此条件下的x值代入约取公因式后的式子中，求出相应的y值后在值域中排除。例
6、6：求函数的值域.例7：已知=的值域为[-1,4],求a,b的值。Ⅵ.不等式法：利用基本不等式，，，求函数值域方法.要注意“一正二定三相等’缺一不可。一般的特定结构的二元条件最值问题常用此法。例8：求下列函数的值域①（x>0）②③（00,y>0.且，求x+y的最小值。③已知a>0,b>0,,求的最大值.④当a,b且a+b=3，求的最大值.练习：1.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为（）A.0B.-2C.D.-32.函数y=loga(x+
7、3)-1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为 .Ⅶ.导数法：设的导数为由可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],则最值必为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值，再者，开区间上的函数，若极值点只有一个，则该极值就是最值。若开区间上的函数若极值点在两个或两个以上，则应结合函数的定义域及解析式分析出函数的大致图像，观察求解。例10：已知=（1）求的单调递减区间；（2）若在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。例11：已知=是奇函数
8、（1）求a,b的值。（2）求的单调区间，并加以证明（3）求的值域。练习：1.求函数=的值域.Ⅷ.图像法：（数形结合法）.针对指数、对数函数、含绝对值的函数，以及最大或最小函数的最值问题或与之有关的大小比较问题。例12：对于a,,b,记函数=的最小值是（）A.0B.C.D.3练习:1.定义则
