函数值域的求解方法讲义

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1、锐思教育学科教师辅导教案辅导科目：高中数学学员姓名：朱韬年级：高一学科教师：刘春媛课时数：3次课授课主题教学目标授课日期及时段2016.1.28（3）函数单调教学内容(3)当x>0,.y=x+丄=(仮——)2+2>2,当x<()时，y=-(-x+—!—)=—x——)2-2<-2*・・・值域是（-8,-2]U[2,+8）.（此法也称为配方法）函数y=兀+丄的图像为：x2、二次函数在区间上的值域（最值）：例：求下列函数的最大值、最小值与值域：®y=x2—4x+l;②；歹=兀2_4兀+1,兀丘[3,4]③y=%2-4x4-1,XG[0,1]

2、；©J=X2-4x+l,xG[0,5]；解：•・・）'，=兀2_4兀+1=（兀_2）2_3,.・・顶点为（2,-3）,顶点横坐标为2.①・・•抛物线的开口向上，函数的定义域R,x=2时，ymin=・3,无最人值；函数的值域是{yly>-3}.y②・・•顶点横坐标2倉[3,4],21当x=3时，y=-2；x=4时，y=l；a-2TO123456匸"11/・••在[3,4]上，ymin=-2,ymax=l;值域为卜2,1J.-2i-3:/③・・•顶点横坐标2纟[0,1],当x=0时,y=l；x=l时，y=-2,・••在[0,1]上，人m=

3、2,ymax=l；值域为卜2,1].④•.•顶点横坐标2w[0,5],当x=0时，y=l；x=2时，y=-3,x=5时,y=6,・••在[0,1]匕儿曲=・3,ymax=6；值域为卜3,6].注:对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（dh0）,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当x：二一_L时，其最小值），.=（4必-庆）；2a54a②当avO时，则当I二_2时，其最大值歹=（4ac"）2a4a⑵若定义域为xg[a,b]侧应首先判定其顶点横坐标xO是否属于区间la,b].①若e[a,b],则/（勺）是函数的最小值（a>0）时或最人值（

4、avO）时，再比较/（«）,/（/?）的大小决定函数的最大（小）值.②若心Eh,b],则a,b]是在/（兀）的单调区间内，只需比较/（a）J（b）的大小即町决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最人（小）值；②当顶点横处标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：.1、求函数y=/-2x+5,xe[0,5]的值域解：•・•对称轴x=1e[0,5]3、函数图像法例：求尹=兀_3

5、—兀+1

6、的值域4,%<-1解法一：（图象法）可化为胡2—2兀,-l

7、

8、a-表示实数在数轴上的距离可得。-1X0练习:求函数y=

9、x

10、+卜+1

11、的值域求函数y=lx+ll+lx-2l的值域.Z[、-F+2x例9求函数y二一的值域<3；（r0）,则r=1-3%・I一尸…X=31_/215.•・原函数可化为y=3+r=-r+r+l=-（r一一）2+-324・・・其函数图像如

12、图1所示・•・当2丄时,即"丄时24y取得最大值ymax=

13、■，无最小值。・・・函数“3尢+J1-3兀的值域为（-8,-]04例、求函数y=9x-3x+2（xe[0,1]）的值域解：（换元法）设3v=t,贝Ul?min=2;/=3时，ymax=8.・.值域为[2,8]解：（换元法）令r=-x2+2x=-U-l）2+H则『=由指数函数的单调性知，原函数的值域为甘,+00练习题1、求函数y=2x+4VPx的值域2、求函数y=4x-l+V2x-3的值域。广2+3

14、解：令t=yj2x-3(r>0),贝心=—-2F亠q1qq•I原函数可化为y=4一1+『=2尸+f+5=2(f+—)2+—248•・•t>0.••当/=0时，即x=-时，y取得最小值ymin=5,无最大值。.・・函数)，=4兀-1+J2—3的值域为［5,+8)。3、求函数y的值域~3r+14、反函数法利用反函数的性质：原函数的定义域是反函数的值域，反函数的定义域是原函数的值域。2Y例.求函数y=上一的值域。X+1由于本题屮分子、分母均只含有白变量的一次型，易反解岀X,从而便于求出反两数。y=反解得兀=」^即『二亠x+12—y2—x故函数

15、的值域为：ye(-oo,2)U(2,+oo)o(反函数的定义域即是原函数的值域)3r-2例题：求函数y=-—的值域・x-1已知分式函数),=竺土2ex+d5、分离常数法(cho),如果在其自然定义域内，值域