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1、简述函数值域的几种求解方法摘要:本文主要针对函数值域的问题分几种情况进行论述,强化教师在教学中应注重对学生各种思维能力的培养,以及培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力,从而更进一步地培养学生的创新意识。 关键字:函数值域分析解答引伸 【】G633.6【】C【】1671-8437(2010)03-00116-02 函数是高中数学的一个重要组成部分,它主要研究集合中自变量x与变量y之间的对应关系,旨在培养学生的逻辑思维能力和探究能力、创新能力,从而促进学生思维的发展,进而培养学生良好的思
2、维品质和对问题的理解。该部分知识不仅在历年的高考题中占有一定的比重,而且又因它变化多端,始终贯穿整个高中课程,故而是学习其它数学知识的基础。 因此,学生们在学习过程中,大都存在这样那样的问题,要解决此类矛盾,必须透过现象看本质,只有真正了解其内涵,知其意,才能有效地提高学生对这部分知识的理解。而函数值域问题又是该部分知识必不可少的一个重要组成部分,学生在学习过程中,必须打破传统的学习方法,及时调整思维角度,从其它角度来重新审视它,寻找有力的突破口,化繁为简,化难为易地对该类问题进行求解。下面就此类
3、问题举例进行探讨: 一利用常用函数的定义、性质及公式巧求函数的值域 1.1求函数y=值域。 分析1:该问题是一个比较简单的求值域问题,且分子和分母所含未知数x的次数相等,要求其值域,可从函数本身入手,对函数进行变形、化简,使其分子或分母中其一不含x,通过观察直接求出其值域。 解:由y=得y===+ =+ ∵≠0∴y≠ 故函数y=的值域为(-∞,)∪(,+∞). 注:对于形如y=的函数,(a,b,c,d为常数且a≠0)的值域可用部分分式法将其变形为y=+,求得值域为{y
4、y≠},也可用
5、求反函数的定义域方法求得其值域为y≠ 分析2:对于1.1中的函数y=,也可充分利用函数与反函数的关系,即:原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域,从而达到求原函数值域的问题。 解:由y=得3yx-4y=2x即x(3y-2)=4y, ∴x=,由3y-2≠0,得y≠. 1.2求函数y=的值域。 分析1:这类函数如利用1.1的求法是很难求解的,此时,不妨把y看作常量,对方程进行求解,从而达到求解目的。 解:∵x2+2x+2=(x+1)2+1≠0∴原函数等价于y(x2+2x+
6、2)=x+1即yx2+(2y-1)x+2y=0①则方程①在实数内必有解。 当y=0时,x=-1,符合题意;当y≠0时,△=(2y-1)2-4y(2y-1)=4y2-1≥0,故-≤y≤且y≠0 综上,所求函数值域为[-,] 注:在求解函数中分子与分母中所含未知量的指数不同时,可用这种方法求解函数的值域。但是在解方程时,要明确方程在实数范围内一定有解,继而在由判别式求出其值域。 分析2:对于1.2中的例子,也可利用不等式综合法中的均值不等式进行求解,但利用该种方法求解函数的值域时,要对相关的因式
7、进行讨论,在此,我们不妨来看看此种方法的求解过程。 解:把y=化简为y== 令u=(x+1)+ 讨论: (1)当x+1=0时,即x=-1时,y=0。 (2)当x+1≠0时,即x≠-1时,有: ①.当x+1>0,即x>-1时,u≥2=2,当且仅当x+1=时,即x=0时取等号。 ②.当x+10,然后再巧用三角换元求函数u的值域,即可使问题简单化、直观化。 解:令u2=x2+y2,u≥0,则可设x=ucosθ,y=usinθ将其代入x2-3xy+y2=2中,得u2-3u2sinθcosθ=
8、2, ∴=,因此,0<=≤= 故u2≥x2+y2≥,即x2+y2的取值范围是[,+∞)。 四正确运用函数的图象巧求函数的值域 4.1求函数y=的值域。 分析:∵直线的斜率公式是:k=, ∴把y=改写为y=, 然后巧用直线斜率公式,问题即可迎刃而解。 解:y==y=, 其几何意义为:(cosc,sinx)与(-2,0)两点的直线的斜率,借助图象,求函数y=的值域,即求单位圆上一点与(-2,0)点的连线的斜率的取值范围,易得-≤y≤。 函数值域的求解方法很多,教师在教授这一部分知识时
9、不可能面面俱到,所以教师在教学时一定要关注学生对知识点的掌握及其连贯性,从而培养学生的逻辑思维能力、想象能力和发散思维能力。由表及里、由浅入深地提高学生对问题的认识和理解能力,并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力,全面提高学生的创新能力和综合素质能力,使学生得到全面发展。 简介:马勋果,大学本科毕业,自毕业后一直在威宁民族师范学校(现改为:贵州省毕节第三实验高级中学)第一线任教,在教学中积累了很多教育教学经验。现任职称为中专讲师,主要研讨教育教学方法和教育改
