函数值域求解方法

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1、函数值域求解方法055350河北隆尧一中焦景会电话13085848802求函数值域的方法很多，但须依据函数解析式结构特征来确定相应解法。由于函数值域取决于定义域和对应法则，所以无论采用什么方法求函数值域，均应考虑定义域。要掌握好函数值域求法，首先应重视基本函数的的值域：一次函数y=kx+b()值域R；二次函数,当a>0时,值域为;当a<0时,值域为；反比例函数值域；指数函数值域{y

2、y>0}；对数函数值域R。现将一般函数值域求解方法归纳分析如下，供同学们参。一、反函数法利用函数和它的反函数定义域和值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原

3、函数的值域。形如的函数值域，均可使用反函数法。另外，这种类型的函数值域也可采用分离常数法。例1、求函数的值域。解法1；（反函数法）反函数为，其定义域为，故原函数值域为解法2：（分离常数法），其中，的值域。二、配方法配方法是求二次函数值域的基本方法，形如的函数值域问题，均可使用配方法。例2、已知，求函数值域。解：由，得。又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数定义域为，解得，所以。由二次函数单调性得，，所求函数值域为。三、换元法运用变量代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数值域，形如均为常数，且）的函数常用此法求解。例3、

4、求函数值域。解：令，则，则，所以所求函数值域为。注：（1）换元前后的等价性。题中，而不是看解析式有意义的t取值范围；（2）换元后可操作性。一、判别式法把函数转化成关于x的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式，求得原函数值域，形如不同是为0）分子、分母无公因式的函数值域常用此法。例1、求下列函数值域（1）；（2）。解；（1）由，得。当y=0时,x=0;当时,由得,故原函数值域为（2）将已知函数式变形为,即，显然，将上式视做关于x的一元二次方程。,即上述关于x的一元二次方程有实根，所以，解得.又，函数值域为。二、利用函数有界性形

5、如等，因为，可求y范围，从而求出其值域。例2、求函数值域.-3O5xy8解：由,得,,或y<-1,故原函数值域为.六、图象法由于函数图象能直观形象的表示出函数的一些性质，故当一些函数容易做出图象时，可由图象法得出函数值域。例6、求函数y=

6、x+3

7、+

8、x-5

9、的值域。解：函数解析式可化为或，图象如图所示，由图象知函数值域为。七、利用函数单调性（1）关于自变量x的一次根式，如，用换元法求解,当ad>0时，也可利用单调性求值域；；（2）形如的函数常考虑利用单调性，当x>0时，函数单调减区间，单调增区间为，因其函数图象形如“√”，故称为对号函数，

10、其分界点为。对于x<0情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合函数的值域，常用此法求解。例7、求函数,的值域。解：由在上是增函数，得f(x)在上最小值为，故函数的值域为.例8、求函数的值域解：设，均为减函数，所以y也是减函数。又定义域为，即。当时，，故原函数值域为。例9、求函数的值域。解：设，则。由，知当时，u为减函数；当时,u为增函数，而为减函数，故在时为增函数，在时为减函数，所以时，，故原函数值域为.练习：1、求函数的值域。2、求函数的值域。3、已知f(x)值域，求函数的值域。4、函数的值域为R，求a取值范围。3、已知关于x的方程有负根。

11、（1）求实数a的值的集合M；（2）若函数的定义域恰为M，求f(x)的值域。4、已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14，求f(x)的值域。参考答案1、解：设,则,,.2、解：在上是减函数,,.3、解：设,则，,，函数值域为.4、解：要使f(x)的值域为R，即要求真数能取遍所有正数，故二次函数图象与x轴有交点，所以，得或。5、解：(1)当x<0时，，即，得，即；(2)由题设，得，即，。6、解：由，，，且，在[-1,1]上是增函数，，于是，故f(x)的值域为。