九年级数学辅导：伟大的发现—韦达定理.pdf

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1、一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】21．若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2，则：x1+x2=-b/a；x1.x2=c/a2．若x1,x2是某一元二次方程的两根，则该方程可以2写成：x-(x1+x2)x+x1x2=0.【经典例题】【例1】已知x,x2为方程x2+px+q=0的两根，且x+x22112=6,x1+x2=20，求p和q的值.12【例2】已知：方程x2x1的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；233(2)x1x2x1x2第1页共6页2【例3】已知：关于x

2、的方程x-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k的整数值.2【例4】已知，关于x的方程(n-1)x+mx+1=0①有两个相等的实数根.2222(1)求证：关于y的方程my-2my-m-2n+3=0②必有两个不相等的实数根；2(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式mn+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项

3、系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习】第2页共6页一、选择题1.下列说法中不正确的是()2A.方程x+2x-7=0的两实数根之和为22B.方程x-3x-5=0的两实数根之积为-52C.方程x-2x-7=0的两实数根的平方和为182D.方程x-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52222.若x1,x2是一元二次方程2x-3x+1=0的两个根，则x1+x2的值是()A.5/4B.9/4C.11/4D.723.已知关于x的一元二次方程X-mx+2m-1=0的

4、两个实数根的平方和为7，那么m的值是()A.5B.-1C.5或-1D.-5或1224.方程x-3x-6=0与方程x-6x+3=0的所有根的乘积为()A.-18B.18C.-3D.3225.若一元二次方程ax+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax+bx+c的顶点横坐标为()A.-2B.2C.3D.-126.已知：a、b、c是△ABC的三条边长，那么方程cx+(a+b)x+c/4=0的根的情况是()A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，

5、两实根之和为3的一元二次方程：。22.已知方程x+3x-1=0的两根为α、β，那么α+β=。3.以23和23为根的一元二次方程是。22ba4.已知：实数a、b满足条件a-7a+2=0，b-7b+2=0，且a≠b，则ab25.设x1,x2是方程2x+4x-3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)=，x12+x22=.26.设x1，x2是方程2x-3x+m=0的两个实根，且8x1-2x2=7，则m的值是.227.2是一元二次方程x-3x+m=0的一个根，-2是一元二次方程x+3x-m=0的一个根，那么m=.28.已知：已知关

6、于x的方程x-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为.三、解答题第3页共6页221、已知：关于x的方程x-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)=16，如果关于x的另2一个方程x-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值.22、已知x1,x2是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否有在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.x1x2(2)求使2的值为整数的实数k的整数值.x2x123、已知关

7、于x的方程(m+1)x+2mx+m-3=0总有实数根.(1)求m的取值范围.2)若m在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为x1、x2，求：第4页共6页3x12(1-4x2)的值；若没有说明理由.4.阅读下列解题过程：已知：方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，求的值。解：∵△＝32-4×1×1＝5>0∴α≠β（1）由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β＝-3，αβ＝1（2）3∴3（3）1阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：作业第5页共6页21.m

8、,n是方程x+2002x-1=0的两个实数根，则m2n+mn2-mn=.2y4x2如果方程组只有一个实数解，求m值.y2xm2113.已知：x1、x2是方程x-x+a=0的两个实数根，且3，求a的值.22x1x224．已知方程x3x20不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是