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时间:2020-10-12
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1、例谈位似变换的应用江苏省东台市唐洋镇中学杨吟柱(邮编:224233)位似变换是新课程标准中的新增内容,其性质的综合应用比较广泛。不仅在证明题中有所应用,而且在函数、作图中都有着十分重要的作用。一.位似变换在函数中的应用例1.已知反比例函数,求以坐标原点为位似中心,位似比为:的反比例函数解析式。分析:要求反比例函数解析式,只要知道一点的坐标,因此在的图象上找一点,所求反比例函数图象上对应点,由已知::,从而求出点坐标。解:在图象上取一点,连结并延长至,使::,则得所求图象上的对应点。∴所求反比例函数关系式为例2.已知,如图,抛物线,求以原点为位似中心,且位似比为
2、:的抛物线的关系式。分析:要求抛物线的关系式,可以寻找特殊点的坐标。已知抛物线顶点,与轴交点,根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点和与轴交点的坐标。解:∵抛物线∴顶点,与轴交点所求抛物线与已知抛物线是位似图形,根据位似图形的性质可得所求抛物线顶点,与轴交点∴设所求抛物线关系式为2∴抛物线关系式求位似变换后函数图象关系式一般方法:先在原函数图象上取一些特殊点,然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质,求出所求图象上的一些特殊点的坐标。因此解题关键是如何选择特殊点,具体选法要根据函数图象性质来确定二.位似变换在作图中的应用位似变换解作图题的一般方法:先作一个和求
3、作图形的相似图形,然后选择适当的位似中心和位似比,作出图形的位似图形,使的位置或大小符合作图题的要求。因此其关键是如何选择位似中心,具体选法要看图形的性质、题意和解题思想方法来决定。例1.如图,已知,为内一定点。求作:,使经过点,且与两边都相切。分析:要使经过点,且与两边相切,暂时放弃过点这个条件,保留与两边相切,这时可作无数个圆,它们都与要作位似,以为位似中心,这些圆的圆心都在的平分线上,在上任意取一点,即可以为圆心,作与两边相切,则与是以为位似中心的位似图形。根据位似的性质,点的对应点是与的交点,那么点可以作出。作法:⒈作的平分线;⒉在上任取一点,作使之与
4、两边、相切;⒊连结,交于点;⒋连结;⒌过作交于;⒍作(以为半径)。∴就是所求作的圆。例4.已知,在内,求作一正方形,使在上,、分别在、上。分析:假设所求作正方形,两顶点、在的边上,、分别在、上。先放弃在上的要求,而保留其他要求,则可得到以为位似中心的正方形的位似图形,并且过点。由此可得作图方法。作法:⒈作正方形,使在上,在上;⒉连接并延长交于;⒊作于,作交于;⒋作于。∴正方形即为所求作正方形。2
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