2021届高三数学9月刊适用于高考复习专题十五 空间向量与立体几何（解析版）.docx

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1、专题十五空间向量与立体几何一、单选题1．（2019·卢龙县中学高二期中）已知三棱锥中，平面，且，.则该三棱锥的外接球的体积为()A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】【详解】∵，，∴是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则三棱锥外接球即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径满足故三棱锥外接球的体积故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2．（2020·河北高一期末）已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】

2、画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．【详解】由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，，是正三角形，所以．所求球的表面积为：故选C．【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．3．（2020·四川武侯·成都七中高三其他（理））在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】D52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【解析】【分析】由题意画出图形，确定

3、三棱锥外接球的半径，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积可求．【详解】在梯形中，，，BC＝，由，得,将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥D-ABC,如图所示：取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵平面DCA⊥平面ACB，平面DCA平面ACB=AC，DE⊥AC，∴DE⊥平面ACB，∵DE＝，OE＝，∴在中，OD＝2，∴OB＝OA＝OC＝OD=2，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为4π•22＝16π．故选D．【点睛】本题考查折叠问题，三棱锥的外接球表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．4．（2020·广西七星·桂林十八中高二期中（理））已知在三棱锥中，，，，

4、，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，过作平面，交于点，过作52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，交于点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，即，解得，，，，则，，设球心，则，∴，解得，∴三棱锥的外接球的半径，∴三棱锥外接球的表面积为.故选D．5．（2020·定远县育才学校高一期末）在空间，下列命题正确的是（　　）A．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB．如果平面内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则⊥β．C．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面内的两条直

5、线都平行于平面β，则∥β【答案】B【解析】如果直线与平面内的一条直线平行，则或，故A错；因为垂直于内的任意一条直线，根据线面垂直的定义可以得到，而，所以，故B对；直线与平面内的两条相交直线垂直，那么才有，故C错；如果平面内两条相交直线都平行于平面，那么才有，故D错．综上，选B．6．（2019·小店·山西大附中高二月考）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则PA与平面所成角的大小为A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平

6、面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴==AA1，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P==1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，∴∠APA1=60°．故选：B．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.7．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先计算BD长为

7、2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案.52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】三棱锥中，面中：在中：即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键.8．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平