概率电子教案4(07)ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望§4.2方差§4.3协方差及相关系数§4.4矩、协方差矩阵§4.1数学期望例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律X10987Y10987Pk0.60.10.20.1Pk0.40.30.10.2试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？解由射手甲的分布律知，甲命中10环的概率为0.6，即若射击100次，约有60次命中10环，同理，约有10次命中9环，20次命中8环，10次命中7环．这样，甲平均每次命中环数约为由此可见，射手甲的射击水平略高于射手乙的射击水平。同理，射手乙平

2、均每次命中环数约为若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)．即定义1设离散型随机变量X的分布律为定义２设连续型随机变量Ｘ的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X)即[注]1）数学期望简称为期望，又称为均值．例2设X服从指数分布，其概率密度为求2）数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.例3设X~(),求E(X).解X的分布律为例4设X~U(a,b),求E(X).解X的概率密度为例5设X~N(,2)，求串联时系统寿命例6设有2个相互独立的

3、电子元件，其寿命Xk(k=1,2)均服从同一指数分布，其概率密度为求将这2个元件串联组成系统的平均寿命．解Xk的分布函数为其分布函数为(1)X是离散型随机变量,分布律为：若级数绝对收敛，则(2)X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则定理1设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)（g为连续函数）．证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有Y=g(X)（2）设X是连续型随机变量且满足§2.5节的定理条件，Y=g(X)的概率密度为定理推广：设Z是随机变量X,Y的函数：Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）．(1)若(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为

4、则则(2)若(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，例7设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．解风速V的概率密度为解设组织货源为t（吨）(a

5、8X+Y2334pk0.40.20.30.1XY1210.40.220.30.1例9设(X,Y)的联合分布律为求的数学期望．例10设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）求X、Y及XY的数学期望012xyG解法一：由已知得解法二：同理假设以下随机变量的数学期望均存在．1.E(C)=C,（C是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）3.E(XY)=E(X)E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)数学期望的性质:[注]1）性质3、4可推广到有限个的情况.2）对于性质4来讲反之不成立.证(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)设

6、(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为fX（x），fY（y），则又若X与Y相互独立，则例11一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)．由题意[注]这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.解引入随机变量则解由于X与Y相互独立，则与也相互独立，例12设X、Y相互独立，分别服从参数为,的指数分布：试求例设甲、乙两射手在同样条件下进行射

7、击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律分别为X10987Y109870.50.10.20.20.40.30.10.2试评定甲、乙的技术水平．解甲乙平均命中环数为E(X)=8.9(环)，E(Y)=8.9(环)从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下，进一步考虑他们射击的稳定性§4.2方差定义1设X是一随机变量，若存在，则称为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)．即并称为X随机变量的均方差或标准差，记(X)．1。若X为离散型随机变量，2。若X为连续型随机变量,概率密度为f（x）,则3。计算公式：推导计算公式的推导：由方差的定义及数学期望的性质，有例1设甲、

8、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环