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1、一、条件概率许多情况下，我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题，我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作：P(B/A)；相应地，P(B)称为无条件概率。例如：老张有3个孩子，已知老大是女孩，求另外两个孩子也是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同)。解：记A={老大是女孩}，B={三个孩子都是女孩}所求概率为在事件A发生的条件下事件B的条件概率P(B/A)。显然P(B/A)=1/4.另一方面，我们再求一下P(AB)/P(A)。易知P(AB)/P(A)=1/4，这里我们得到一个等式：这个等式启发我们
2、引入条件概率的定义：定义1：设A、B是样本空间S中的两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。二、概率乘法公式定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积。即：P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ)P(AB)=Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ/Ｂ)将上式变形就得到概率论中非常有名的乘法公式：下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B发生了k次，事件AB发生了r次，则事件A发生的频率为：m/n事件B发生的频率为：k/n事件A
3、B发生的频率为：r/n在事件A发生的条件下事件B发生的频率为：r/m由于B由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值,故B问：P(B/A)与P(B)的样本空间一样吗？注意：上述公式还可以推广到三个及以上的情形用条件概率解答下列问题.讨论：用条件概率解答囚犯和看守关于处决谁是否要保密的问题.问题：监狱看守通知三个囚犯，在他们三人中要随机地选出一个处决，而把另外两个释放。囚犯甲请求看守秘密告诉他，另外两个囚犯中谁将获得自由。请问：就甲的求生而言，看守该如何做对甲有利？解：设A=“甲被处决”，B=“乙被处决”，C=“丙被处决”注意:
4、A、B、C是两两互斥事件。若看守不告诉甲：P(A)=1/3若看守告诉甲，比如乙将获释，则：同理：讨论：用条件概率计算抽签问题5个球迷得到一场精彩球赛的入场券，只好用抽签方式决定谁去。解：记Ai=“第i人抽到入场券”,i=1,2,3,4,5.=“第i人没抽到入场券,i=1,2,3,4,5.第二个人抽到意味着第一个人未抽到，同理：第三个人抽到意味着前两人均未抽到类似可得：P(A4)=P(A5)=1/5.解：令Ai={第i次取到黑球},Bj={第j次取到红球}i,j=1,2,3,4,…例1（波里亚罐子模型)：一个罐子中装有b个黑球
5、和r个红球，从罐中随机地摸取一球，观看颜色后再放回罐中，并且再加进c个与所取出的球具有相同颜色的球。这种过程进行四次，试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。则A1A2B3B4表示事件“第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球”，于是说明：当c>0时，每次取出球后都会增加下一次再取到同色球的概率，这其实是一个传染病模型，即每次发现一个传染病患者后都会增加下一次再传染的概率。解：令Ai={第i次拨号才接通电话},i=1,2,3（1）拨号不超过3次而接通电话的概率。（2）第3次拨号才接通电话的概率例2：某人忘记了电话号码
6、的最后一个数字，因而他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下列事件的概率。（1）拨号不超过3次而接通电话可表示为：于是：（2）第3次拨号才接通电话可表示为：三、事件的独立性由条件概率我们知道，一般情况下P(B/A)≠P(B)，但有时也会出现P(B/A)=P(B)的情况。例如：同时抛掷两枚均匀的硬币记A={第一枚出现正面}，B={第二枚出现正面}显然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2,也就是说，A事件发生与否不影响事件B发生的概率，即P(B/A)=P(B)，这时我们称事件A与B是相互独立的。在事件A与B相互独立的情况下
7、，乘法公式变得非常简单，即P(AB)=P(A)P(B)我们就用上式来定义事件的独立性定义：设A、B为两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)则称A与B是相互独立的。例：从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张，记A=“抽到K”，B=“抽到黑色的牌”，问事件A与B是否独立？解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2，P(AB)=2/52=1/26，所以P(AB)=P(A)P(B)即A与B是相互独立的。◆说明：n个事件相互独立与两两独立的区别下面以3个事件为例：三个事件A、B、C相互独立，必须满足如下条件：P(A
8、B)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)三个事件A、B、C两两独立，只需满足P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)一般情况下，当A、B、C两两独立时，等式P(ABC
