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《高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量精品学案苏教版选修2.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[学习目标]1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．知识点一直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．知识点二平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．思考1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一
2、？是否相等？答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等．题型一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案2解析由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.反思与感悟若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪训练1若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．答案垂直解析因为a
3、·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝190°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．→→→解如图，以A为原点，以AD，AB，AS分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，1则A(0,0,0)，D(，0,0)，2C(1,1,0)，S(0,0,1)，→1
4、则DC＝(，1,0)，2→1DS＝(－，0,1)．2→1易知向量AD＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．2设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，→11n·DC＝x＋y＝0，y＝－x，22则即→11n·DS＝－x＋z＝0，z＝x.22取x＝2，则y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：→→(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC，AB；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；→n·AC＝0，(3)联立方程组并求解；→n·AB＝0，(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是
5、比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．解设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，→→由题意知AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)．→→→n·AB＝－x＋y＝0，∵n⊥AB，n⊥BC，∴→n·BC＝x－z＝0，x＝y，解得令x＝1，则y＝z＝1.x＝z.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．题型三证明平面的法向量例3在正
6、方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．→求证：D1F是平面ADE的法向量．证明如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则11D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，，0)，22→→1所以AD＝(－1,0,0)，D1F＝(0，，－1)，2→1AE＝(0,1，)，2→→1所以AD·D1F＝(－1,0,0)·(0，，－1)＝0，2→→11AE·D1F＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，22→→→→所以AD⊥D1F，AE⊥D1F，又AD∩AE＝
7、A，→所以D1F⊥平面ADE，→从而D1F是平面ADE的法向量．反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．→跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使B1E是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，→→→则AB＝(0,1,0)，B1E＝(m－1
8、,0,1)，FA＝(1,0,1－h)．
