函数专题(文科).doc

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1、第二课时函数一、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象例1设a＞0，求函数（x∈(0，＋∞)）的单调区间．分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式（递增）及（递减）。解：．当a＞0，x＞0时f¢(x)＞0Ûx2＋(2a－4)x＋a2＞0，f¢(x)＜0Ûx2＋(2a－4)x＋a2＜0．（ⅰ）当a＞1时，对所有x＞0，有x2＋(2a－4)x＋a2＞0，即f¢(x)＞0，此时f(x)在（0，＋∞）内单调递增．（ⅱ）当a＝1时，对x≠1，有x2＋(2a－4)x＋a2＞0，即f¢(x)＞0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，＋∞

2、）内单调递增．又知函数f(x)在x＝1处连续，因此，函数f(x)在（0，＋∞）内单调递增．（ⅲ）当0＜a＜1时，令f¢(x)＞0，即x2＋(2a－4)x＋a2＞0，解得，或．因此，函数f(x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增．第19页共19页令f¢(x)＜0，即x2＋(2a－4)x＋a2＜0，解得．因此，函数f(x)在区间内单调递减．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例2已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与轴交点为。证明：①；②若，则（Ⅰ）分析：欲

3、求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。解：求的导数：，由此得切线的方程：。（Ⅱ）分析：①要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成；②欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。证：依题意，切线方程中令y＝0，.①由第19页共19页.②。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。例3、函数y＝1－的图象是（）解析一：该题考查对f（x）＝图象以及对坐

4、标平移公式的理解，将函数y＝的图形变形到y＝，即向右平移一个单位，再变形到y＝－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y＝－＋1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x＝0，此时y＝1，取x＝2，此时y＝0.因此选B.答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。考点二：二次函数例４　设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.分析：在已知方程第19页共19页两根的情况下，根据函数与方程根的

5、关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.证明：由题意可知.，∴，∴当时，.又，∴，综上可知，所给问题获证.点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。例5已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即第19页共19页两式相加得，所以，;（2）由，可得.又，所以同号.∴，等价于或，即或解之得或.点评：在处理一元二次方

6、程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。考点三：抽象函数（一）函数性质法（二）特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等2、在求函数值时，可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法.例6、设f(x)是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对任意的x，y∈（0，＋∞），都有f(xy)＝f(x)＋f(y)。（1）求证：当x∈（1，＋∞）时，f(x)＞0；且f()＝f(x)－f(y).第19页共

7、19页（2）若f(2)＝1，解不等式f(x＋2)－f(2x)＞2.分析：由f(xy)＝f(x)＋(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，所以f(1)＝0，由题意条件，f(x)为增函数，据此不难求解。解：（1）令x＝y＝1，则由f(xy)＝f(x)＋f(y)得f(1×1)＝f(1)＋f(1).即f(1)＝2f(1)，f(1)＝0，又由于函数f(x)在（0，＋∞）上为增函数，所以对任意x∈（1，＋∞），有f(x)＞f(1)＝0，故f(x)＞0.设x，y∈（0，＋∞），则有∈（0，＋∞），于是f(x)＝f(y)＝f()＋f(y)，

8、即f()＝f(x)－f(y).（2）由于f(2)＝1，所以f＝f(2)＋f(2)＝f(2×2)＝f(4)，由f(x＋2)－f(2x)＞2，f(x＋2)＞f(2x)＋f(4)，f(x＋2)＞f(8x)，又因为函数f(x)在（0，＋∞）上为增函数，所以x＋2＞8x，因x∈（0，＋