计算方法考题B06(答案).doc

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1、计算方法——答案2006-12-24考查成绩学院姓名学号1、（4分），则近似值：有6位有效数字，有7位有效数字；2、（4分）设（均为实数），则差商：=12，=2；3、（4分）具有个节点的插值型数值积分公式的代数精度至少是n阶，至多是2n+1阶；4、（4分）已知函数是单峰函数，在[1，2]区间有极小点，利用0.618法进行一维优化：函数值：，则删去部分区间后保留区间：，下次计算函数值的点是：1.764；5、（4分）按数值积分的复化Simpson公式计算得：，由此可估计误差：；6、（6分）三阶矩阵及其逆矩阵如下，

2、则的范数意义下的条件数：748；又，解方程组，若残量的范数，则可估计解的误差4.08；7、（8分）函数有形式，测试数据如下表：-1.06-0.5671.431.77请给出用最小二乘法确定系数的法方程（取3位有效数字计算）：得：8、（10分）用Gauss消去法解以下方程组，并将其系数矩阵分解为形式（单位下三角、对角、单位上三角矩阵）：；答：主元：9、（10分）方程组：考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解方程组的收敛性；解：方法（1）将原方程第3行两边除2，便为对称：正定，正定，因此，Jacob

3、i迭代和Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉方法（2）若对方程不作改变，Jacobi迭代矩阵：记，又由及，因此，方程在，及中各有一解，因此，因此Jacobi迭代收敛；Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵：或：迭代矩阵谱半径是以下特征多项式的根：解得：，所以Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉10、（10分）已知方程在区间中有唯一解，给出包含此解的长度不超过0.5的区间，及一个简单迭代，使之在此前定的区间中任取初值，迭代收敛于；解：由可知令，迭代，因，而，，又由，因此，由定理可知，迭代收敛。11、（1

4、2分）试给出计算以下积分的两点求积公式，使之具有尽可能高的代数精度，并请给出此时公式的误差：令，解：1、确定公式①正交多项式：所以，节点，公式：或②待定系数法：利用对称区间性质：令由此可得与上相同的公式。为得到误差，考察代数精度：令：因此，代数精度为3。2、误差：由于代数精度为3，故令若用广义Peano定理：取：12、（12分）解常微分方程初值问题的算法：1）确定系数，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正”公式：；解：1）①数值积分方法：令，有：

5、或②待定系数法：得：2）取由及得，因此有13、（12分）设，函数求区间上满足以上插值条件的分段三次插值多项式（自然样条）；解：设令，故有由此：，由插值条件：得：同理：，由插值条件：得：利用在处连续：由；得：所求三次样条为：；若按公式：有：得：