第三套线性代数综合测试练习题.doc

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1、第三套线性代数综合测试练习题一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式，表示它的元素的代数余子式，则与对应的三阶行列式为。2、均为阶方阵，，则=。3、，则=。4、向量组线性关。5、设6阶方阵A的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则的通解为。6、已知为的特征向量，则。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、，，则。A．B．C．D．8、元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。A．B．C．D．9、已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组的两个不同的解，为任意常数，则方程组的通解为。A．B．C．D．10、矩阵与相似,则下列说法不正确的是。A.秩()

2、=秩()B.=C.D.与有相同的特征值11、若阶方阵的两个不同的特征值所对应的特征向量分别是和，则。A.和线性相关B.和线性无关C.和正交D.和的内积等于零12、阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的条件。A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要三、计算题(每小题7分，共42分)13、设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，，且；求。14、满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？15、向量组，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。16、设矩阵的一个特征值为3，求。17、计算矩

3、阵的特征值与特征向量。18、当为何值时，为正定二次型？四、证明题(每小题5分，共10分)19、设向量能由这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组线性无关。20、设是阶方阵的3个特征向量，它们的特征值不相等，记，证明不是的特征向量。第三套线性代数测试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式，表示它的元素的代数余子式，则与对应的三阶行列式为。由行列式按行按列展开定理可得。2、均为阶方阵，，则=。由于：。3、，则=。由于。4、向量组线性无关。因为：。5、设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则的通解为。由于，所以的基础解系

4、只含一个向量：，故有上通解。6、已知为的特征向量，则。。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、，，则D。A．B．C．D．对A作行变换，先作，将第一行加到第三行上，再作，交换一二行。8、元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是B。A．B．C．D．齐次线性方程组有非零解的定理。9、已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组的两个不同的解，为任意常数，则方程组的通解为D。A．B．C．D．基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵与相似,则下列说法不正确的是B。A.秩()=秩()B.=C.D.与有相同的特征值相似不是相等。11、若阶方阵的两

5、个不同的特征值所对应的特征向量分别是和，则B。A.和线性相关B.和线性无关C.和正交D.和的内积等于零特征值，特征向量的定理保证。12、阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的C条件。A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)13、设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，，且；求。解：因为AB+E=A2+B，可逆所以。14、满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？解：当且时，方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时，这时方程组

6、有无穷多解。15、向量组，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：，为一个极大无关组，，16、设矩阵的一个特征值为3，求。解：17、计算矩阵的特征值与特征向量。解：，所以得：特征值，解方程组，只得一个对应特征向量为：；，解方程组，可得特征向量为。18、当为何值时，为正定二次型？解：解不等式：。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设向量能由这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组线性无关。证明：（反证法）如果线性相关，则有一组不全为0的系数使=（1），由已知设，结合（1）式得（2）由于不完全为零，则，

7、，必与不同，这样已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设是阶方阵的3个特征向量，它们的特征值不相等，记，证明不是的特征向量。证明：假设，又：从而：，由于特征值各不相等，所以线性无关，所以的，矛盾。