第28讲组合几何初步.doc

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1、第28讲组合几何初步组合几何学中尚未解决的难题比比皆是，解决这些问题需要新思想与新方法.组合几何学是有志挑战数学难题者一展身手的最佳领域之一。——J.帕赫知识方法扫描组合几何是组合数学的一个分支，它研究有限几何图形的如下问题：存在性问题；计数问题；最值问题；位置问题。1．如果要说明一个图形不存在的理由，一般要用到反证法。2．如果要说明一个图形存在，一般要用到从极端考虑，局部调整，有序化等数学思想方法，抽屉原理也是常用的工具，有时还需要用构造法将这样的几何图形构造出来。3．当满足某些条件的几何图形存在时，需要计算此类几何图形的个数，这就是计

2、数问题。计数问题常用到穷举法，分类讨论，分步计算，容斥原理等方法。4．当满足某些条件的几何图形很多时，需要研究何时它具有最优的的性质，如距离最小，面积最大等。有一类最值问题是用估算-证明-构造的方法来处理的。以最大值为例，先依据有限的数据或图形来估计，猜测出这个最大值，然后证明它的取值不会超过这个值，最后构造一个图形说明这个值是可以达到的，这样就证明了这个值就是最大值。5．覆盖问题是一类涉及到两个图形位置关系问题，要说明图形A能被图形B覆盖，就是要说明A中任意一点都在B的内部。经典例题解析例1（2004年天津市初中数学竞赛试题）在正200

3、4边形A1A2…A2004的各顶点上随意填上1，2，3，…，501中的一个数，试证明一定存在四个顶点满足如下的条件：（1）以此顶点的四边形为矩形；（2）此四边形相对两顶点所填数之和相等。证明（1）由题意知，顶点Ai与Ai+1002为一组关于中心对称的两点，其中i=1,2,…，1002,则2004个顶点可分为1002组。顺次连结每两组的顶点，可得到一个四边形，由于其对角线互相平分且相等，所以得到的四边形是矩形。（2）设在顶点Ai上所填的数字是ai,则2≤ai+ai+1002≤501×2=1002，即2到1002共有1001个不同的数。又10

4、02组顶点有1002个数，由抽屉原理知，至少有两组顶点所填数之和相等，则此两组顶点即为所求的四个顶点。例2（1996年汉城国际数学邀请赛中国集训队试题）如图，a∥b,直线a上有十个点：A1，A2，…，A10；直线b上有九个点：B1，B2，…，B9。将a上的每一个点与b上每一个点相连，可以得到许多线段，已知没有三条线段交于一点，问这些线段一共有多少个交点？解在a,b上各取两点，四点确定唯一的一个交点。从a上取两点有10×9÷2=45种方法，从b上取两点有9×8÷2=36种方法，一共有45×36=3240种方法。例3（第8届华罗庚杯金杯数学邀

5、请赛决赛试题）周长为100，边长为整数的等腰三角形共有多少种？解设a,b,c为三角形三边的长，第一种情况,a=b

6、的长度为半径作圆，则这1000万个点都在圆的内部。又因为过这1000万个点中任意两点的直线是有限的，故我们可以在圆外作一条直线l，使得它与过这1000万个点中任意两点的直线都不平行。这样一来，这1000万个点都位于直线l的一侧，且到直线l的距离均不相等。设它们到直线l的距离由小到大依次为d1,d2,…,d,记与直线l的距离为di的点为Bi(i=1,2,…，).作直线m∥l，使直线m与l的距离为d,其中d

7、存在2点有线段相连。问至少要连多少条线段？证明你的结论。解（1）如果某点A不作为线段的端点，则其它6点每两点都有线段相连，共要连•6•5=15条线段；（2）如果点A只作为1条线段的端点，则不与A相连的5点之间每两点都有线段相连，至少要连•5•4=10条线段，共要连11条线段；（3）若每一点至少作为两条线段的端点．若点A只作为两条线段AB、AC的端点，则不与A相连的4点之间每两点都有线段相连，至少要连•4•3=6条线段。从B至少还要引出一条线段，所以这时至少有2+6+1=9条线段．（4）若每一点至少作为两条线段的端点．则至少要要连•7•3条

8、线段。注意到线段的条数为整数，故此时至少要连11条。右图表明9条线段已经足够了．例6（1979年北京市初中数学竞赛试题）平面上有n个不同的点，每一对点连结成一条线段。将每一条线段的中点涂上红色