《高等数学》同济大学上期――复习ppt课件.ppt

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1、极限高数连续导数积分——计算：运算法则、洛必达法则、无穷小替换、极限存在准则——连续函数的定义、间断点分类——计算：函数可导的定义、导数几何意义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、微分应用：函数单调性、凹凸性等判断不定积分定积分——计算：凑微分法、换元法、分部积分法——计算：牛顿-莱布尼兹公式应用：几何应用一、一元函数y=f(x)极限1、数列极限当n>N时,总有2、函数极限当时，时,有3、极限存在准则夹逼准则（夹挤准则）(P50)关键：构造的左、右数列必须具有相同的极限！4、计算（1）

2、无穷小×有界函数=无穷小（2）四则运算法则（3）复合函数求极限（4）求极限——洛必达法则洛必达通分对数法～～～～～～5、极限计算中常用的等价无穷小替换说明：（它们的反函数）～～～1-1求极限.分析:1.判断极限类型2.通分处理解:洛必达无穷小替换2-1求极限.分析:1.判断极限类型2.洛必达法则解:无穷小替换1-3求极限.解:通分无穷小替换洛必达无穷小替换2-3求极限.解:洛必达计算有非零极限因子洛必达1-9利用夹挤定理证明.证明:保留，使得放大后的数列——极限为零由夹挤定理，得证。一般的，我们有

3、如下增长率比较关系：2-6利用夹挤定理证明：证明:由夹挤定理，得证。二、连续性左连续右连续1、函数连续的定义第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型1-7求函数的间断点，并指出类型分析:1.寻找函数没意义的点——间断点x0解:间断点：2.分析间断点x0的类型，需分析极限！1.2.2-9求函数的间断点，并指出类型。解:间断点：1.2.三、导数、微分1、导数的定义若极限不存在,在点不可导.就说函数f(x)2.导数的几何意义

4、曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:3.高阶导数4.导数的四则运算5.隐函数求导两边对x求导6.参数方程求导7.微分1-6设，求分析:解:1-4设y=y(x)是由方程所确定的函数，求导数解:（方程两边同时对x求导数，将y视为x函数y(x)）2-4设可导，，求复合函数求导（3重）解:1-5设，求两式同时对t求导解:2-7设，求解:2-5求曲线在处的切线和法线方程。2.斜率解:求切点(x0,y0)和斜率k=分析:1.切点切线方程:法线方程:2-10求曲线在点处的切线和法线方程。解:求斜率k=分析:

5、切线方程:法线方程:（方程两边同时对x求导数，将y视为x函数y(x)）四、导数的应用拉格朗日中值定理罗尔中值定理罗尔定理表明：可导函数f(x)每两个零点之间必有一导函数f’(x)的零点。——中值定理四、导数的应用——研究函数形态a.单调性：b.凹凸性：c.极值性：极大值极小值“左正右负”“左负右正”极小值极大值一点的左右凹凸性变化，此点称为——拐点凹凸常用算法：1.明确定义域，求导数(一阶、二阶)2.计算导数为零或导数不存在的可疑点3.列表排查可疑点1-10已知，证明在实数范围内有且仅有9个实根。

6、解:至少9个实根又f’(x)=0为9次多项式——最多9个根1-8讨论函数的单调区间、极值、解:1)定义域为2)3)(极大)(拐点）凹凸区间、拐点等信息.(极小)五、不定积分若则(C为任意常数)或：基本积分表(P188)(k为常数)——找原函数（一族，带C）…1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分.2.换元积分法凑微分法第二类换元法(根式代换)(代换:)a.加、减项处理，再分项积分P190.例9、15b.利用三角公式处理P191.例12、13等3.分部积分法一般:按“反,对

7、,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为——用于两个不同类型函数乘积的情况1、常用的凑微分公式——若易算！例1：例2.=例1（配方继续处理）2-13求2、变量替换——根式代换令1-11(2)：令分部积分1-11（3）令2-8令六、定积分2.定积分的计算1.定义——“曲边梯形面积”牛顿–莱布尼兹公式找原函数不定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法、分部积分法——数定积分的换元法和分部积分法换元法：换元必换限分部积分法：边积边带限1-11（1）计算定积分对称区间积分：偶倍奇零2-14计算定积分

8、令换元必换限边积边带限3.积分限函数求导1-2求极限解：洛必达无穷小替换&计算有极限因子2-2.计算极限解：洛必达无穷小替换&计算有极限因子4.定积分的证明题&计算题1-14证明：证明：比较等式两边，被积函数完全相同积分区间：倒数对调关系变量替换：设2-11.已知xex为f(x)的一个原函数，求：解：边积边带限证:(1)f(x)为奇函数(2)要证明：变量替换：设5.定积分的应用——面积计算y=f(x)、x轴和直线x=a,x=b围成的平面区域面积为：两条连续曲线f1(x)和f2(x)