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《2015高考数学第一轮复习立体几何中的向量方法(二)ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1.空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量l1与l2所成的角θ范围__________求法cosθ=cos〈a,b〉=___________(0，］(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ=cosθ=________.(3)二面角的求法①如图a，AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=__________.②如图b,c，n1，n2分别是二面角α-l
2、-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=_____________或______________.cos〈n1，n2〉-cos〈n1，n2〉2．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d=________.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是(0，］,直线与平面所成角的范围是［0，］,
3、二面角的范围是［0，π］.()【解析】(1)错误.两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角或其补角.(2)错误.若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为θ，直线与平面所成的角为α，则sinα=cosθ.(3)错误.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.(4)正确.由异面直线所成的角、线面角及二面角的定义可知，两异面直线夹角的范围是(0，］,直线与平面所成角的范围是［0，］,二面角的范围是［0，π］.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m,n〉=则l与α所成角的大小为()(A)60°(B)120°(C
4、)30°(D)150°【解析】选C.设l与α所成的角为α，则又∵0°≤α≤90°,∴α=30°.2.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为()(A)45°(B)135°(C)45°或135°(D)以上都不对【解析】选C.∵m=(0,1,0),n=(0,1,1),∴m=1,n=m·n=1,∴cos〈m,n〉=∴〈m,n〉=45°,∴两平面所成的二面角的大小为45°或135°.3.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内一点，且满足则点P到棱AB的距离为()【解析】选A.过P作PM⊥底面AC于M，过M作MN⊥AB于N，连PN
5、，则PN⊥AB，∴即点P到棱AB的距离为4.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_________．【解析】由题意建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，∴cos〈〉=答案：考向1异面直线所成角的求法【典例1】如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点.求异面直线AE与BF所成角的余弦值.【思路点
6、拨】由于该几何体为长方体，且E点位置非特殊位置，根据定义作出异面直线AE与BF所成的角比较困难，故可考虑建立空间直角坐标系，利用向量解决.【规范解答】以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示).由于AB=2，BD与平面AA1B1B所成角为30°,即∠ABD=30°,∴AD=∴A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,0),F(1,0,1).又AE⊥BD,故由平面几何知识得AE=1，从而E(0)，因为=(0),=(-1,0,1),∴·=(0)·(-1,0,1)==1,=设AE与BF所成角为θ1,则cosθ1=故异面直线AE与BF所成
7、角的余弦值为【规律方法】1.异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量，转化成向量所成的角.2.合理建立空间直角坐标系(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.(2)①一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；②如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条
