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《2015高考数学第一轮复习立体几何中的向量方法(一)ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量①定义：向量a所在直线与l___________，则a叫做l的方向向量；②确定：通常在直线l上任取两点构成的向量.(2)平面的法向量①定义：与平面_____的向量，称做平面的法向量；②确定：设n是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量a,b，由方程组来确定.平行或重合垂直2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔_______l1
2、⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_______l⊥αn∥m⇔______平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔______α⊥βn⊥m⇔_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()
3、【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一.(3)正确.由平面平行的转化定理可知.(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则()(A)l∥α(B)l⊥α(C)l⊂α(D)l与α斜交【解析】选B.∵a=(1,0,2),u=(-2,0,-4),∴u=-2a,即u∥a,∴
4、l⊥α.2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()(A)a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)(B)a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)(C)a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)(D)a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【解析】选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件.3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_______．【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a
5、⊥b，从而l1⊥l2．答案：l1⊥l24.若平面α，β的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且α⊥β，则y=_______.【解析】∵α⊥β,∴a·b=0,即20-y-16=0,∴y=4.答案：4考向1空间中的点共线、点共面问题【典例1】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：(1)E，F，G,H四点共面.(2)BD∥平面EFGH.【思路点拨】(1)证明根据共面向量定理即可得到结论；或证明FG∥EH，即可得到FG,EH确定一
6、平面，故得四点共面．(2)证明与共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可.【规范解答】(1)方法一：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点，∴∴∴E,F,G,H四点共面．方法二：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点，∴∴FG∥EH且FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故E,F,G,H四点共面．(2)由(1)知∴∥∴BD∥EH,又BD平面EFGH,EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．【规律方法】1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证
7、明A,B,C三点共线，即证明共线，亦即证明2.证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明或对空间任一点O，有或(x+y+z=1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面充要条件．【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.(1)试用向量法证明E，F，G，H四点共面.(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的
8、位置关系，并用向量法证明你的判断.【解析】(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长交对边于M,N,Q,R点.因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R分别为所在边的中点，连接MN,NQ,QR,RM得到的四边形为平行四边形，且有：连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以=又所以即由共面向量定理知E,F,G,H四点共面.(2)平行.理由如下：由(1)得所以∥又因为EG平面ABCD，MQ⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.因为所以MN∥EF.又因为EF
