线性代数第四讲ppt课件.ppt

《线性代数第四讲ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例1＝－402021/8/3在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列的元素划去，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij；余子式和代数余子式记Aij=(－1)i+jMij,Aij称为元素aij的代数余子式。2021/8/32例如四阶行列式元素a32的余子式是：元素a32代数余子式是：2021/8/33注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。2021/8/34行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1.3：2021/8/35按第一行展开，得例2计算行列式

2、2021/8/36例2计算行列式解按第二行展开，得2021/8/37例3计算行列式保留a33，把第3行其余元素变为0，然后按3行展开：2021/8/38例3计算行列式2021/8/392021/8/310例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式比如2021/8/311证用数学归纳法例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式2021/8/312从第二行起，每一行减去前一行的倍2021/8/313n-1阶范德蒙德行列式2021/8/314推论1.5行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和

3、等于零，即2021/8/315综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。2021/8/316利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。2021/8/317求第一行各元素

4、的代数余子式之和,即求第一行各元素的余子式之和呢？例52021/8/318解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成例52021/8/319解第一行各元素的余子式之和可以表示成例52021/8/320例62021/8/3212021/8/322例7箭形行列式目标：把第一列化为成三角形行列式2021/8/323例8箭形行列式2021/8/3242021/8/325克拉默Cramer法则★克拉默法则★利用克拉默法则解方程组★齐次线性方程组有非零解的充分必要条件本节主要介绍n元一次线性方程组的克拉默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中

5、系数行列式与解之间的关系2021/8/326引入行列式概念后，求解二、三元线性方程组，当系数行列式时，方程组有唯一解，克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，2021/8/327即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即则线性方程组(1)有唯一解，2021/8/328证明：再把方程依次相加，得2021/8/329由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组(2)有唯一的一个解上式中除了的系数等于D,其余的系数均等于0，而等式右端为由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以也是方程组的(1

6、)解。2021/8/330例9用克拉默法则解线性方程组。解：2021/8/3312021/8/332线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组。此时称方程组为齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念:2021/8/333齐次线性方程组易知，一定是(2)的解，称为零解。若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。2021/8/334有非零解.系数行列式定理1.5：推论1.6：如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解。2021/8/335例10取何值时，齐次

7、线性方程组有非零解？解由系数行列式2021/8/336课堂练习：思考题:当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?解答:不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.2021/8/337第一章小结本章从解二元一次线性方程组入手，引入了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法则的行列式求解方法，以此进一步扩展到n阶行列式的定义。为了求解一般的n阶行列式，我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列）展开。通过这些性质，可以将一个n阶行列式转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式，或者通过展开，将

8、高阶的行列式转化成低阶的行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求解n元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与系数行列式之间的关系。2021/8/338