高数第一章小结.ppt

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1、（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1、函数的定义函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性:2、函数的性质(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(3)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),

2、则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(4)函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx3、反函数4、隐函数5、反函数与直接函数之间的关系6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次

3、四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限的定义定义如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn>时的一切nx,不等式e<-axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn=¥®或).(¥®®naxn定义2如果对于任

4、意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d,使得对于适合不等式d<-<00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式e<-Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx®时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx®®=®当或左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理推论1推论23、极限的性质4、求极限的方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.利用数列和函

5、数极限的迫敛性和四则运算法则;c.利用两个重要极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.f.利用等价无穷小量.g.利用初等函数的连续性求极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)准则Ⅰ′如果当),(00rxUxÎ(或Mx>)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx==££¥®®¥®®那末)(lim)(0xfxxx¥®®存在,且等于A.(1)(2)6、两个重要极限定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯

6、一性左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理

7、3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.10、一致连续定义：设是定义在区间上函数，若使得当且时，恒有则称在区间上一致连续.定理：若函数在区间上连续，则函数在上一致连续.证明：由于===11.证明当时，有所以，7.利用等价无穷小性质求

8、下列极限：（8）解：===（11）解：===-3（2）若（对称性），则～～8.证明无穷小的等价关系具有下列性质：～（1）（自反性）～（3）～，则～（传递性），