第八讲函数图象中点的存在性问题.docx

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1、第八讲函数图象中点的存在性问题1、已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．满分解答（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得．所

2、以．所以．在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．所以，．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．整理，得．定义域为x＞0．图2图3（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．因此．所以．解方程，得．此时⊙P的半径为．②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．所以．因此．解方程，得．此时⊙P的半径为．图4图5图6考点伸展第（3）题②也可以这样思考：如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，

3、3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．2、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，

4、请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．图2图3图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P

5、(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5图63、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如

6、果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE

7、中，BE＝，，所以．此时．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到．整理，得．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．在Rt△OMF中，OF＝，所以．在Rt△BPQ中，BP＝1，，．在Rt△OPQ中，OF＝，所以．①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程，可得③当

8、OM＝OP时，解方程，可得．4、如图，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为M