2014挑战中考压轴题之函数图象中点的存在性问题.doc

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1、函数图象中点的存在性问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）

2、请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．图2图3图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．

3、思路如下：由△DMB∽△BNF，知．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5图6例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA

4、的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3思路点拨1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在

5、Rt△BMD中，BM＝2，，所以．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．在Rt△ONF中，

6、，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到．整理，得．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．在Rt△OMF中，OF＝，所以．在Rt△BPQ中，BP＝1，，．在Rt△OPQ中，OF＝，所以．①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程，可得③当OM＝OP时，解方程，可得．例32012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t

7、小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1答案（1）当M、N都在O右侧时，，，所以．因此MN与AB不平行．（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△O

8、MN∽△OBA，那么．所以．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，，，．．②如图3，，，．．③如图4，，，．．综合①、②、③，s．所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例42011年上海市中考第25题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长