同济大学高等数学第六版下册第十一章幂级数ppt课件.ppt

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1、1.定义:幂级数一、函数项级数的一般概念2.收敛点与收敛域:3.和函数:(定义域是?)函数项级数的部分和余项注意(x在收敛域上)函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:证明由(1)结论几何说明发散区域发散区域收敛区域这是幂级数收敛的特性推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间，收敛域=收敛区间+收敛的端点可能是规定问题如何求幂级数的收敛半径?证明由比值审敛法,定理证毕.①若在x0

2、处收敛则②在x0处发散若则③若在x0处条件收敛则这是幂级数收敛的特性注利用该定理求收敛半径要求所有的或只有有限个例2求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛区间为(0,1].如缺项，则必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径例3已知幂级数的收敛半径R=1求的收敛半径解任取由收敛知注：由检比法易得收敛故由比较审敛法知在故收敛半径内绝对收敛注意收敛半径为1，并不意味着`三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中(3)除法

3、(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)(收敛半径不变)解两边积分得例5求和函数解收敛域为记则并求的和故故常用已知和函数的幂级数记住几个常见级数的和常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或Abel法四、小结1.函数项级数的概念:2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是练习题练习题答案