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《解析几何第四版吕林根期末复习课后习题(重点)详解.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一章矢量与坐标§1.3数量乘矢量4、设ABa5b,BC2a8b,CD3(ab),证明:A、B、D三点共线.证明∵BDBCCD2a8b3(ab)a5bAB∴AB与BD共线,又∵B为公共点,从而A、B、D三点共线.6、设L、M、N分别是ABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:三中线矢量AL,BM,CN可以构成一个三角形.证明:AL1(ABAC)21BMBC)(BA2CN1(CACB)21(ABALBMCN
2、ACBABCCACB)027.、设L、M、N是△ABC的三边的中点,O是任意一点,证明OAOB+OC=OL+OM+ON.[证明]OAOLLAOBOMMBOCONNCOAOBOCOLOMON(LAMBNC)=OLOMON(ALBMCN)由上题结论知:ALBMCN0OAOBOCOLOMON从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。8.、如图1-5,设M是平行四边形ABCD的中心,O是任意一点,证明OA+OB+OC+OD=4OM.[证明]:因为OM=1(OA+OC),OM=212(OB+OD),所以
3、2OM=12(OA+OB+OC+OD)所以图1-5OA+OB+OC+OD=4OM.10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯证明已知梯形ABCD,两腰中点分别为M、N,连接AN、BN.MNMAANMAADDN,MNMBBNMBBCCN,∴MNADBC,即§1.4矢量的线性关系与矢量的分解、设一直线上三点A,B,P满足AP=PB(-1),O是空间任意一点,求证:3.OP
4、=OAOB1[证明]:如图1-7,因为AP=OP-OA,PB=OB-OP,所以OP-OA=(OB-OP),(1+)OP=OA+OB,图1-7从而OP=OAOB.14.、在ABC中,设ABe1,ACe2.(1)设D、E是边BC三等分点,将矢量AD,AE分解为e1,e2的线性组合;(2)设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合解:(1)11BCACABe2e1,BD3BC3e2e1,ADABBD1e2e11e12e11e2,同理AE2e21e1333333(2)因为
5、B
6、T
7、=
8、e1
9、
10、TC
11、
12、e1,
13、且BT与TC方向相同,所以BT=
14、e1
15、TC.
16、e2
17、由上题结论有e1
18、e1
19、e2
20、e2
21、e1
22、e1
23、e2AT=
24、e2
25、=.
26、e1
27、
28、e1
29、
30、e2
31、1
32、e2
33、5.在四面体OABC中,设点G是ABC的重心(三中线之交点),求矢量OG对于矢量OA,,OB,OC的分解式。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解:G是ABC的重心。连接AG并延长与BC交于PAP1AC,AG221ABAC1ABAP32ABAC233同
34、理BG1BABC,CG1CACBCO33OGOAAGOA1ABBC3OGOBBGOB1BABC3OGOCCGOC1CBCA3(1)GP(2)AB(3)(图1)由(1)(2)(3)得3OGOAOBOC1ABACBA1BCCACB33OAOBOC6.用矢量法证明以下各题(1)三角形三中线共点证明:设BC,CA,AB中,点分别为L,M,N。AL与BM交于P1,AL于CN交于P2BM于CN交于P3,取空间任一点O,则AOP1OBBP1OB2BMOB1BABC1313OBOAOBOCOAOBOCA3OB1O
35、A3同理OPOBOCNM23OP31OAOBOCBLC3P1,P2,P3三点重合O三角形三中线共点(图2)即OG1OAOBOC3§1.5标架与坐标9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.答A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明]:设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi,欲证AiGi交于一点(i=1
36、,2,3,4).在AiGi上取一点Pi,使AiPi=3PiGi,从而OPi=OAi3OGi,133⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4),则G1x2x3x4,y2y3y4,z2z3z4,333G2x1x3x4,y1y3y4,z1z3z4,333G3x1x2x4,y1y2y4,z1z2z4,333G4x1x2x3,y1y2y3,z1z2z3,333所以x13x2x3