数值分析第三章 解线性方程组的直接方法.ppt

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1、Ch5解线性方程组的直接方法求解高斯消元法：思路首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*augmentedmatrix*/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andint

2、erchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§1GaussianElimination–TheMethod选主元消去法例：单精

3、度解方程组/*精确解为和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。全主元消去法/*CompletePivoting*/每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证。Stepk:①选取②Ifikkthen交换第k行与第ik行;Ifjkkthen交换第k列与第jk列;③消元注：列交换改变了xi的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。列主元消去法/*PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting

4、*/省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。例：注：列主元法没有全主元法稳定。例：注意：这两个方程组在数学上严格等价。标度化列主元消去法/*ScaledPartialPivoting*/对每一行计算　　　　　。为省时间，si只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列中　最大的aik为主元。注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。§1GaussianElimination–PivotingStrategies§2三角分解法/*MatrixFactorization*/高斯消元法的矩阵形式/*MatrixFo

5、rmofG.E.*/：Step1:记L1=，则Stepn1:其中Lk=§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.记为L单位下三角阵/*unitarylower-triangularmatrix*/记U=A的LU分解/*LUfactorization*/Heyhasn’tGEgivenmeenoughheadache?WhydoIhavetoknowitsmatrixform??!Whenyouhavetosolvethesystemfordifferentwithafix

6、edA.Couldyoubemorespecific,please?FactorizeAfirst,thenforeveryyouonlyhavetosolvetwosimpletriangularsystemsand.§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则A的LU分解唯一（其中L为单位下三角阵）。证明：由§1中定理可知，LU分解存在。下面证明唯一

7、性。若不唯一，则可设A=L1U1=L2U2，推出Upper-triangularLower-triangularWithdiagonalentries1注：L为一般下三角阵而U为单位上三角阵的分解称为Crout分解。实际上只要考虑A*的LU分解，即，则即是A的Crout分解。§2MatrixFactorization–Doolittle道立特分解法/*DoolittleFactorization*/：——LU分解的紧凑格式/*compactform*/反复计算,很浪费哦……通过比较法直接导出L和U的计算

8、公式。思路§2MatrixFactorization–Choleski平方根法/*Choleski’sMethod*/：——对称/*symmetric*/正定/*positivedefinite*/矩阵的分解法定义一个矩阵A=(aij)nn称为对称阵，如果aij=aji。定义一个矩阵A称为正定阵，如果对任意非零向量都成立。回顾：对称正定阵的几个重要性质A1亦对称正定，且aii>0若不然，则存在非零解，