线性代数概念.doc

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1、第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数和方程式的个数不必相等。线性方程组的解是一个维向量（称为解向量），它满足：当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式。线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。对线性方程组讨论的主要问题有两个：（1）判断解的情况。（2）求解，特别是在有无穷多解时求通解。的线性方程组称为齐次线性方程组。维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）。把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次

2、线性方程组，简称导出组。2．矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。由个数排列成的一个行列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个型矩阵。例如是一个矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵和为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。一个矩阵中的数称为它的元素，位于第行第列的数称为位元素。元素全为的矩阵称为零矩阵，通常就记作。两个矩阵和相等（记作）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。由个数构成的有序数组称为一个维向量，称这些数为它的分量。书写中可用矩阵的形式来表示向量

3、，例如分量依次是的向量可表示成或，请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是矩阵，右边是矩阵）。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。（请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别。）一个的矩阵的每一行是一个维向量，称为它的行向量；每一列是一个维向量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵的列向量组为时（它们都是表示为列的形式！）可记。矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为的向量称为零向量，通常也记作。两个向量和相等（记作），是指它的维数相等，并且对应的分量都相等。（2）线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明

4、。加（减）法：两个的矩阵和可以相加（减），得到的和（差）仍是矩阵，记作，法则为对应元素相加（减）。数乘：一个的矩阵与一个数可以相乘，乘积仍为的矩阵，记作，法则为的每个元素乘。这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律：①加法交换律：。②加法结合律：。③加乘分配律：。。④数乘结合律：。⑤或。转置：把一个的矩阵行和列互换，得到的的矩阵称为的转置，记作（或）。有以下规律：①。②。③。转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个向量看作矩阵了。当是列向量时，表示行向量，当是行向量时，表示列向量。向量组的线性组合：设是一组维向量，是一组数，则称为的（以为系数的）线性组合。

5、维向量组的线性组合也是维向量。（3）阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为的矩阵也常常叫做阶矩阵。把阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。（其上的元素行号与列号相等。）下面列出几类常用的阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的。对角矩阵：对角线外的元素都为的阶矩阵。单位矩阵：对角线上的元素都为的对角矩阵，记作（或）。数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数的对角矩阵，它就是。上三角矩阵：对角线下的元素都为的阶矩阵。下三角矩阵：对角线上的元素都为的阶矩阵。对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素总是相等的阶矩阵。（反对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元

6、素和位的元素之和总等于的阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是。）3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换：①交换两行的位置。②用一个非0的常数乘某一行的各元素。③把某一行的倍数加到另一行上。(称这类变换为倍加变换)类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：①如果它有零行，则都出现在下面。②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵，

7、特点为：③台角位置的元素为1。④并且其正上方的元素都为0。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：1．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。2．一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的。4．线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组（即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组）。