线性代数部分概念复习

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1、线性代数——概念复习1、行列式行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;代数余子式的性质:①、和的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;代数余子式和余子式的关系:设行列式:将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积;③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;④、和:副对角元素的乘积;⑤、拉普拉斯展开式

2、:、⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵是阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;对于阶矩阵:无条件恒成立;矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;3、矩阵的初等变换与线性方程组一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形

3、是唯一确定的:;等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)若,则可逆,且;②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;矩阵秩的基本性质:①、;②、;③、若,则;④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、;(※)⑥、;(※)⑦、;(※)⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)Ⅰ、的列向量全部是齐

4、次方程组解(转置运算后的结论);Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵,则;

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