高等数学闭区间上连续函数的性质课件.ppt

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1、第十二节一、最值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质第一章从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意，这时我们说闭区间[a，b]上的连续函数在点x1处有最大值,在点x2处有最小值.ox2x1baxy闭区间上连续函数的性质：注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,也无最大值和最小值又如,例,函数在开区间内是连续的,但它在开区间内是无界的,即无最值.若函数在开区间上连续,结论不一定成立.或在闭区间

2、内有间断点,由定理1可知有证:设上有界.推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.例如,无最大值和最小值有界与有最值的区别:二、零点定理与介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)如果使则称为函数的零点.则且故由零点定理知,至少有一点使即定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,使至少有一点推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值m与最大值M之间的任何值.Mm证:作辅助函数例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有内容小结这等式说明方程在区间内至少有一个根证设，因为在内连续，所以，在上也连续，而所以，由零点定理知，至少

3、有一个使得即方程在与之间至少有一个实根．内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在则证明至少存在使提示:令则易证设作业P541;2;3一点习题课思考与练习证明:令设在上连续,且证明在内至少存在一点,使.显然在上连续,已知故则当时,可取或.而当时,由零点定理，至少,使得分析如果令，那么证明等式成立等价于有零点，因此可用零点定理证明。即.思考题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.