隐函数及参数方程所确定的函数的导数

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1、第四讲隐函数及参数方程所确定的函数的导数内容提要1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数。教学要求1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；3.熟练掌握对数求导法。一、隐函数的求导法1.显函数、隐函数的概念(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式称为显函数.(2)隐函数:若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.也可以确定一个函数,因为当来表示的这种

2、函数,把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。2、隐函数求导法隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。例1求由方程222Ryx=+所确定隐函数的导数dxdy解这里2y可以看作是以y为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则,在方程两边对x求导,隐

3、函数求导的结果中,可能会含有变量y.它与显函数不同,显函数求导结果中,只含有自变量x注意:例2求由方程0=+-yxeexy所确定隐函数的导数解运用复合函数求导法则,在方程两边对x求导,得00==xy,可以看作y为中间变量的复合函数,例3求由方程422=++yxyx确定的曲线上点)2,2(-处的切线方程和法线方程，解方程两边对x求导,于是故曲线上在点)2,2(-处切线的斜率为22-==¢=yxyk2222-==++-=yxyxyx1=切线的方程为法线的方程为02)1(22=++xyx解yyxarctan)2

4、(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数下面介绍对数求导法，它可以用来解决两种类型函数的求导问题。解等式两边取对数得例1（隐函数）例2已知函数解等式两边取自然对数得求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：等式两边取对数得解练习二、由参数方程所确定的函数的求导法例如,由参数方程)20(sincosp<£îíì==ttRytRx所确定的函数是222Ryx=+,这表明由参数方程可以确定函数.一般地,如果参数方程确

5、定了y是x的函数)(xfy=,则称此函数为由参数方程所确定的函数.下面讨论参数方程的求导法.在参数方程中，则参数方程所确定的即运用复合函数求导法则,如果函数具有二阶导数,由一阶导数和)(txj=还可以组成参数方程再用参数方程的求导方法得二阶导数例1求由参数方程所确定函数的一阶导数和二阶导数解由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=再由一阶导数tdxdycot-=和tRxcos=组成参数方程再用参数方程的求导方法,得二阶导数例2求摆线îíì-=-=)cos1()sin(tayttax在2p=t

6、处的切线方程和法线方程解由参数方程的求导方法,得摆线上点当时,处切线斜率为切线方程为法线方程为练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数注意：注意：解当时,处切线斜率切线方程为法线方程为小结一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程，注意：