相离的两圆的公切线的做法.docx

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1、相离的两圆的公切线的做法摘要：我们知道，相离的两个定圆(⊙O1半径为r、⊙O2半径为R)具有两条内公切线和两条外公切线。那么，我们该如何运用尺规作图，作出这些公切线呢？在这里，将介绍几种做公切线的作法，分别运用了位似的性质、相似三角形的性质、构造矩形和结合位似和相似三角形。其中最主要的原理是直径所对的角是直角。一、运用位似的性质。我们知道任意的两个圆都会位似且最多存在两个位似中心（即位似点），而由位似的定义我们知道，在两个位似的图形中，所有具有相同性质的点会交于一个点，就是位似点。那么，由位似点引出的一条直线，它与两个位似图形的交点应

2、该也具有相同的性质。所以运用位似的这一性质，我们可以先找出两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，找出了两个具有相同性质的点，这两点所在的直线与连心线的交点，就是位似中心。此时，我们以位似点和某一圆的圆心为直径作圆,由直径所对的角为直角，那么我们可以得到该圆的一条切线，又由位似的性质知，该切线与另一圆也相切。作法：1.连结O1O2，并延长。2.过O1、O2作O1O2的垂线，分别交⊙O1、⊙O2于点A1A2。（注：当作外公切线的时候A1A2取在O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在O1O2的不同侧）3.连结A1A2并延长，交O1O2

3、于点O。4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1、B3。5.连结OB1并延长交⊙O2于点B2，连结OB3并延长交⊙O2于点B46．则B1B2、B3B4为两圆的公切线B2A1B4A2B2B1B1A1位似点OO1O2O1位似点OO2B3B3B2B4A2证明：在位似的⊙O1、⊙O2中，已知A1O1、A2O2都垂直于O1O2，则垂线A1O1和垂线A2O2的性质相同，它们两端点的连线交于位似点O又OO1为直径，∠OB1O1=90°∵OB1B2在同一直线上∴B1B2两点的性质相同∴∠OB1O1=∠OB2O2=90°∴B1B2为两圆的公切线，同理B

4、3B4也为两圆的公切线。二、运用相似三角形的性质我们知道两个相似的三角形，它们的对应角都相等，所以我们可以尝试构造两个相似的直角三角形。而我们要确定两个直角三角形相似，只需满足一条直角边与斜边的比例相等即可。我们在找比例线段的时候，可以从相似三角形入手，当我们连接两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，会与圆交于两点，这两.点所在的直线与垂线和连心线就会形成两个相似三角形。并且它们的相似比就是半径比，我们再以两个三角形在在连心线上的边为直径作圆，由直径所对的角为直角，我们可以得到两个直角三角形，且它们有两条边的比都为半径比，即两个直

5、角三角形相似，它们的顶角相等，则它们有一对直角边在同一条直线上，那条直线即为两圆的公切线。作法：1.连结O1、O2，并延长。2.过O1、O2作O1O2的垂线，分别交⊙O1、⊙O2于点A1A2。（注：当作外公切线的时候A1A2取在O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在O1O2的不同侧）3.连结A1A2并延长，交O1O2于点O。4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1B3，以OO2为直径作圆，交⊙O1于点B1B4。5.连结OB1、OB2，连结OB3、OB4。6．则B1B2、B3B4为两圆的公切线。B2A1B4B1A2B1A1O1O2OO

6、1O2OB3B3B2B4A2证明：已知A1O1、A2O2都垂直于O1O2，则∠OA1O1=∠OA2O2=90°又∠A1OO1=∠A2OO2，则△OA1O1∽△OA2O2，且OO1：OO2=A1O1：A2O2=r：R由OO、OO是直径有∠OBO=90°、∠OOB=90°121122又OO1：OO2=O1B1：O2B2=r：R∴Rt△OB1O1∽Rt△OB2O2，∴∠OB1O1=∠OB2O2（HL）∴OB1B2在同一直线上∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线三、构造矩形我们知道，公切线会垂直于两切点到圆心的连线，如果把公

7、切线沿小圆切点到圆心的方向平移，就会得到一个矩形，还会得到一个直角三角形，该直角三角形有一条直角边为公切线的平行线，另一条为大圆与小圆的半径差（和），斜边为连心线。所以，我们可以先在大圆圆心以半径差（和）作圆,再以连心线为直径作圆，交点连结得到直角三角形，接着作出平行四边形即可得到公切线。作法：1.1.连结O1O2，并延长。2.以O2为圆心，⊙O1、⊙O2的半径差(和)为半径作⊙O3。（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3.以O1O2为直径作圆，交⊙O3于点A1、A2。4.连结O2A1、O2A2并延长交⊙O2于点B2

8、、B4,连结O1A1、O1A15.过点B2取B2B1=O1A1交⊙O1于点B1，连结O1B1。6．B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线.B2B1A1A1B1B4O1O2O1OO2A2B3B2B3A2B4证