备战2021届高考数学(文)纠错笔记专题01 集合与常用逻辑用语(解析版).docx

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1、专题01集合与常用逻辑用语易错点1代表元素意义不清致错☞典例分析【例1】集合A={y

2、y=x2,x∈R},B={(x,y)

3、y=x+2,x∈R},则A∩B等于(  )A.{(-1,1),(2,4)}B.{(-1,1)}C.{(2,4)}D.∅【错解】由得或故选A.【错因】导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义,A中的元素是实数y,而B中的元素是实数对(x,y),也就是说,集合A为数集,集合B为点集,因此A、B两个集合中没有公共元素,从而这两个集合的交集为空集.【正解】D☞易错点击用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,

4、再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别:①;②;③;④.1.【2018年理数全国卷II】已知集合A=x ,  yx2+y2≤3 ,  x∈Z ,  y∈Z,则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1,当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;14当x=-1时,y=-1,0,1;所以共有9个,选A.易错点2忽视空集致错☞典例分析已知集合A={x

5、-2≤x≤5},B={x

6、m+1≤x≤2

7、m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.【错解】由B⊆A,得解得2≤m≤3.【错因】上述解法是典型错误解法.原因是考虑不全面,由集合B的含义及B⊆A,忽略了集合为∅的可能而漏掉解.因此题目若出现包含关系时,应首先想到有没有出现∅的可能.【正解】A={x

8、-2≤x≤5},B={x

9、m+1≤x≤2m-1},且B⊆A.①若B=∅,则m+1>2m-1,解得m<2,此时有B⊆A;②若B≠∅,则m+1≤2m-1,即m≥2,由B⊆A,得解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m

10、m≤3}.☞易错点击空集是任何集合的子集,在涉及集合关

11、系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.2.已知集合若则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D14【解析】集合,,则,故选D.易错点3判断充要条件时出错☞典例分析【例4】(1)设x∈R,则x>2成立的必要条件有________.(填上所有正确的序号)①x>1;②x<1;③x>3;④x<3;⑤x>0.【错解】③;因为x>3⇒x>2,所以x>2的一个必要条件为x>3.【错因】错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义,前者说明b⇒a;后者等价于“b是a的必要条件”,即a⇒b.【正解】①⑤;因

12、为x>2⇒x>1,所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0,所以x>2的一个必要条件为x>0.☞易错点击充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法:正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.3.命题p:“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q:“

13、a·b>0”的________条件.【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角,14则cosθ=>0,即a·b>0,反之也成立,所以p是q的充要条件.【错因】判断两个命题是否可以相互推导时,要注意特殊情况的判断,以防判断出现错误.【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角,则cosθ=>0⇒a·b>0;而a·b>0时,θ=0°也成立,但此时a与b夹角不为锐角.故p是q的充分不必要条件.易错点4对含有一个量词的命题否定不完全☞典例分析已知命题p:存在一个实数x0,使得x-x0-2<0,写出.【错解一】命题:存在一个实数x0,使得x-x0-2≥0

14、.【错解二】命题:对任意的实数x,都有x2-x-2<0.【错因】该命题是特称命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的仍是特称命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.【正解】命题:对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.☞易错点击1.命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;p和p为真假对立的命题.2.命题p∨q的否定是(p)∧(q);命题p∧q的否定是(p)∨(q).3.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,p(x0)”;“∃

15、x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,p(x)”.4.下列四个结论中正确的个数是(  )①“x2+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件;14②命题:“∀x∈R,sinx≤1”的否定是“∃x0∈R,sinx0>1”;③“若x=,

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