有限元法的工程应用ppt课件.ppt

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1、1.2有限元法的工程应用一有限元法的求解方法与步骤有限元是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。1.1有限元的基本思想什么是离散化呢？所谓离散化是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。什么是单元和节点呢？在有限元法中，将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联接的基本构件，如杆和梁、板和壳组成，这些基本构件称为

2、单元，单元与单元之间的联接点称为节点。1.2有限元法在结构工程中的应用根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同，常见的有以下5种：1.桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2.刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3.三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力问题和平面应变问题的有限元分析；4.三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5.等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。其特点是能简化复杂结构的单元划分工作，又能满足同样精度的要求时大大减少使用的单元数，成功地解决许多二维和三维弹性力学问题。1.3有限元法求解问题的

3、基本步骤1.结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.求出各单元的刚度矩阵是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，此即为总体平衡方程。1.3有限元法求解问题的基本步骤确定总体刚度矩阵的方法有三种：1）直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法旨在简单情况下才能采用。2）集成法将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的

4、迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的总体刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数等于在节点i汇交的几个单元的刚度系数之和；非对角线上的刚度系数等于联结节点i与节点j间几个单元的刚度系数之和。确定总体刚度矩阵的方法有三种：4.引入支撑条件，求出各节点的位移节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。5.求出各单元内的应力和应变。1.3有限元法求解问题的基本步骤1.4有限元法求解实例例1一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受

5、一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为和，长度分别为和，弹性模量分别为和，求出这两段的应力和应变。已知数据分别为F3=100N1①2②3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)L(2)①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3解：1）离散化把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为、、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码

6、。2）求单元刚度矩阵下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力和作用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量和与轴向力和的关系式为注意在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：或简写为：式中—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；—为单元节点力向量（列阵）；——为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则（1-5）矩阵中任意一个元素都称为单元刚度系数，它表示该单元内除节点j产生单位位移外，

7、其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。3)总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出该阶梯轴上三个节点位移和三个节点轴向力分别组成该整体结构节点位移向量和节点轴向力同理，这两向量间的转换关系可表示为或式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。[K]中的元素称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。求出总体刚度矩阵时进行总体分析的主要任务是一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵[K]的方法主要有两种：一是直接法，

8、即根据总体刚度系数的定义求解；一是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。下面