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《高数2复习-09-10-2积分学.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、积分学部分一、交换二重积分的积分次序，计算二重积分（直角坐标和极坐标）。强调：直角坐标、极坐标计算二重积分，特别注意对称性，选择合适的积分次序,被积函数为常数时二重积分应等于区域的面积乘此常数）1、改变积分次序2xf(x,y)dy+ò44x-x2例1：òdxò2dxòf(x,y)dy=（）。00022-4-y2f(x,y)dx,22-4-y2f(x,y)dxA.òdyòB.òdyòy000C.ò22+4-y222+4-y2f(x,y)dxdyòyf(x,y)dx,D.òdyò000例2：改变积分次序
2、后ò01dxòx2x-x2f(x,y)dy=（）。(A)ò01dyò1x+f(x,y)dx(B)ò01dyò1y+f(x,y)dx1-x21-y2(C)ò01dyò1-yf(x,y)dx(D)ò01dyò1-yf(x,y)dx1-y21+y2例：3．设f(x,y)是连续函数，交换二次积分ò01dyò01-y3x2y2dx的积分次序后的结果为()．（A）．ò01dxò03x2y2dy；（B）．ò01dxò01-x23x2y2dy；1-x（C）．ò0dxò013x2y2dy；（D）．ò01dxò01+x
3、23x2y2dy1-y例4：设函数f(u)连续，区域D={(x,y)
4、x2+y2£2y}，则òòf(xy)dxdy等于（）D22（A）ò-11dxò-1-xf(xy)dy（B）2ò02dyò02y-yf(xy)dx1-x2（C）ò0pdqò02sinqf(r2sinqcosq)dr（D）ò0pdqò02sinqf(r2sinqcosq)rdr例5、积分I=ò02dxòx2e-y2dy的值为例1：C；例2：D；例3：B；例4：D；例：5；12(1-e-4)2．对称性（积分区域关于y轴对积，被积函数为x
5、奇函数，积分为零；偶函数，则2倍，积分区1域关于x对称也有类似的结果）例1：设区域D:-1£x£1,0£y£1，则òò(x3y2-xcosy)ds=。（09A答案0）D例2、设D是以A(1,1),B(-1,1)和C(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限部分，则òò(xy+cosxsiny)dxdy=()．D（A）．4òò(xy+cosxsiny)dxdy；（B）．0；D1（C）．2òòcosxsinydxdy；（D）．2òòxydxdy．D1D1例3、设D:x£1,0£y£1。则òò(
6、x5cosy+y)yds＝D例4、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=xy+òòf(u,v)dudv，其中D是由y=0,y=x2,x=1D围成的区域，则z=f(x,y)等于（）（A）xy（B）2xy（C）xy+1（D）xy+182答案：例1：0；例2、C；例3：3；例4、C；1补充：（1）计算积分òx2dxòx1e-y2dy.（题（（1）（2）需要改变积分次序后再计算）0（2）计算积分ò1dxòxsinydy.0xy（3）计算积分òò
7、x
8、+ydxdy,其中D为
9、x
10、+
11、y
12、£1（（3）（4）
13、对称性，选作，可有作）D（4）计算积分òòDy(1+xex2+y2)dxdy,其中D由y=x,y=-1,x=1所围.2（5）òòDsin(px2+y2)dxdy,其中D是由所确定的1£x2+y2£4圆环域（极坐标）2+y2x（6）计算积分òòx+ydxdy,其中D由x2+y2£1,x+y³1所围（极坐标）22Dx+y219（7）计算òòmax{xy,1}dxdy，其中D={(x,y)0£x£2,0£y£2}（09期中答4+ln2）D（8）òò
14、y-x2
15、dxdy，其中D:-1£x£1,0£y£1（书
16、P121例4；）（P124例8）D答案：（1）16-31e；（2）1-sin1（3）23；（4）-23；（5）-4；（6）2-p2二、计算三重积分（截面法或柱面法或球面法）；例1：计算三重积分I=òòòWx+zdv，其中W由锥面z2=x2+y2与平面z=2所围立体由于积分区域关于y0z面对称，积分òòòWxdv=0，I=òòòWx+zdv=òòòWzdv法一：截面法I=ò02zdzòòDzdxdy=ò02zSDzdz=ò02zpz2dz=4pìx=rcosqï2p22法二：柱面坐标íy=rsinq,
17、dv=rdzdrdq；I=ò0dqò0rdròrzdz=4pïz=zîìx=rsinjcosqï=rsinjsinq,dv=r2sinjdrdjdq法三：球面坐标íyïz=xosjîp2pp2I=ò02pdqò04rcosj×r2sinjdr=)4dj=4pdjò0cosjò04sinjcosj(cosj2例2：（09A）求曲面z=2-x2-y2与z=x2+y2所围成的立体的体积截面法：V=òòòdxdydz=ò01dzòòdxdy+ò12dzòòdxdy=ò01pz
