数学Z变换说课材料.ppt

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1、数学Z变换Z变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。Z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。10.0引言(Introduction)10.1双边Z变换当时，即为离散时间傅立叶变换。这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。其中是一个复数。一.双边Z变换的定义:Thez-Transform可见：对做Z变换就等于对做DTFT。因此，Z变换是对DTFT的推广。二.Z变换的收敛域（ROC）：Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。1.并非任何信号的Z变换都存在。2.并

2、非Z平面上的任何复数都能使收敛。Z平面上那些能使收敛的点的集合，就构成了的收敛域（ROC）。例1.时收敛当时，ROC包括了单位圆。单位圆1Z平面a此时，的DTFT存在。显然有例2.此时，ROC不包括单位圆，所以不能简单地从通过将得到。Z平面1（例2的ROC）例3.a1Z平面单位圆ROC:例4.一般情况下，的ROC是Z平面上一个以原点为中心的圆环。21/2Z平面单位圆结论：1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使收敛。2）仅仅由的表达式不能唯一地确定一个信号，只有连同相应的ROC一道，才能与信号建立一一对

3、应的关系。3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。4）如果，则其ROC是各个的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明的Z变换不存在。5）当是有理函数时，其ROC的边界总是由的极点所在的圆周界定的。6）若的ROC包括单位圆，则有三.的几何表示——零极点图：如果是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：由其全部的零、极点即可确定出，最多相差一个常数因子。如果在零极点图上同时标出ROC，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。因此，若在Z平面上表示出的全部零、极点，即构成的几何表示——零极点图。零极点图对描述

4、LTI系统和分析LTI系统的特性，具有重要的用途。1.的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。10.2Z变换的ROCTheRegionofConvergenceforthez-TransformROC的特征：3.有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括，或）。2.在ROC内，无极点。4.右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括。由，，有若，则有则如果，设是右边序列，定义于，当时,由于的展开式中有若干个Z的正幂项，此时不能为。5.左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括。若，，则有当时，由于的展开式中包括有Z的负幂项，所以

5、Z不能为零。若是有理函数，则ROC必是最内部极点的内部。6.双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一个环形区域。例1.其他极点：（一阶）（N－1阶）零点：0在处，零极点抵消，使有限Z平面内无极点。例1.其他例2.在时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时不存在。b1/bZ平面时，ROC为例3.0在有限Z平面上极点总数与零点总数相同零点：（二阶）极点：若其ROC为：1则为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。时是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。2时是双边序列，其傅立叶变换存在。3ROC是否包括，是是否反因果的标志。ROC是

6、否包括，是是否因果的标志。10.3Z-反变换令，则一.Z-反变换：TheInverseZ-Transform当从时，Z沿着ROC内半径为r的圆变化一周。1.部分分式展开法：其中C是ROC中围绕原点，逆时针方向的圆周。二.反变换的求取：当是有理函数时，可将其展开为部分分式步骤：1.求出的所有极点；2.将展开为部分分式；3.根据总的ROC，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。例：将展开为部分分式有：2.幂级数展开法:（长除法）由的定义，将其展开为幂级数，有展开式中项的系数即为。当是有理函数时，可以通过长除的

7、方法将其展开为幂级数。由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。对双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。例1已知求x(n)。解：因为收敛域是Z平面的圆外区域，所以x(n)是右边序列。级数是Z的负幂级数。将X(z)的分子、分母按Z的降幂排列所以原函数为例2已知求x(n)。解：由收敛域可知原函数为左边序列要展成Z的正幂级数，即将X(z)的分子、分母升幂排列用长除法得：所以，原函数为；将X(z)的分子、分母升幂排列例3

8、：幂级数展开法的缺点是当较复杂（含多个极点时）难以得出的闭式。所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式的反变换。3.留数法：是C内的极点。是C外的极点。时，是C内的极点