第03讲解 质点的运动

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1、第三讲质点的运动如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点．问小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小?解1：先用最一般的坐标取法：以A点作为原点，水平方向(AC方向)作为x轴，竖直方向作为y轴．小球的运动方程为可解得这是一个有关θ和v0的函数关系，需要求θ为多少时v0有极小值．将①式改写成即②①这是一个有关tanθ的一元二次方程，其判别式为②式的解为当v0太小时D<0，②式无解，说明在此情况下小球不可能越过BC墙，当D=O时，②式有解，此时的v0便是小球能越过墙顶的最小的v0取作为未知数，可以解得舍去不合理

2、解，此时①解2：换一种坐标取法：以AB方向作为x轴．这样一取，小球在x、y方向上作的都是匀变速运动了，v0和g都要正交分解到x、y方向上去．小球的运动方程为当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得②③代入①式当最大，即时，v0有极小值．解3：再换一种观念：将斜抛运动看成是v0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图所示．在位移三角形ADB中用正弦定理由①式中第一个等式可得②①将②式代入①式中第二个等式当-COS(2α+β)有极大值1时，即2α+β=π时v0有极小值.因为所以很明显,这种解法最简单明了.在仰角α=π/6的雪坡上举行跳台滑雪比赛，运动员从高

3、处滑下，能在O点借助于器材以与水平方向成θ角的速度v0跳起，最后落在坡上A点．假如v0的大小不变，那么以怎样的θ角起跳能使OA最远?最远距离为多少?解法1：以O点为原点，建立水平和竖直方向的x～y坐标．从此方程组中消去t和y，可得式中v0、α,g等都是定值，不难看出当时x有极大值，此时OA有极大值解法2：将运动员的运动看成与水平方向成θ角的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动，在△OAB中用正弦定理用第二个等式消去t，同样可以得到求极大值以后的结果是一样的．半径为R的自行车轮在平地上纯滚，轴心速度为vC,在轮缘上有一小水珠抛出（抛出时小水珠和轮缘的速度相同），求α为多

4、大时，它水平飞行的距离最大？解：设小珠在A点抛出，相对轮的速度设落地时间为t水平飞行距离求t=？时x有极大值.如图所示的系统中A1、A2两物体均有向下的速度vA，吊住B物体的两根绳与竖直方向的夹角都是α，试求B物体上升的速度vB．如图所示，合页构件由长杆、中杆、短杆各两根用铰链构成，边长比为2:1，若顶点A以匀加速度a水平向右运动，则节点B的加速度为多大?拓展：如果在OC垂直于BC时，vA=v0，OC=R，求：此时C点的加速度aC.解1：因为总有∴对t求导，即有拓展解：由关联性可知C点的a可分成an和aT，其中且有（x轴投影）可以求出aT，既可以求出a。如图所示，杆AB

5、搁置在半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以等速v作直线运动，杆与水平面夹角用θ表示。图示瞬时，杆与半圆柱相切于C'点，此时杆上C点的速度大小是vc=______，圆柱上面与杆相交的一点C'的速度大小v'c=_______.解：杆上C点的速度沿杆，接触点绕O点的ω和A点绕C点的ω相等，即设长为L的杆OA以角速度ω绕O点转动，A端连一绕过定滑轮B的绳子，绳子另一端挂重物M，如图所示．已知∠AOB和∠ABO分别为φ和θ，求图示时刻M的速度是多大?拓展：M的加速度多大？可否将an分解？(可求导)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h．轨道上有两个物体A和B，它们通

6、过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接．物体A在下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳子长BO远大于滑轮直径，求：(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向．(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间．(1)因为绳不能伸缩，所以B沿绳子运动的分速度因而B垂直于绳子的分速度(θ为绳和轨道的夹角)绳上小水滴的速度(即P点的速度)也可以分解成类似的两个分速度式中的α为P点的速度和绳的夹角(注意：P点的速度并不是水平的)．设绳转动的角速度为ω，则有由此可知，vP和水平方向的夹角为30°-

7、α．水滴离开绳子的速度大小为(2)水滴P离开绳后做的是斜下抛运动，它的竖直初速度因此有可解出t，取t的正值解已知：如图所示装置，v1，α，β，γ，求v2两两相距均为a的三质点A、B、C从t=0时刻并始分别以相同的匀速率v运动，运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置，B始终指着当时C所在的位置，C则始终指着当时A所在的位置，试问，三质点何时一起相遇?解1：求每一条边的缩短率（可以学习两种近似方法）解2：有效速度：三者最后会合在O点，因此靠近O的速度是有效的.思考：如果是四边形或正n边形呢？