资源描述：
《有理重心插值中Lebesgue函数的最值性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、有理重心插值中Lebesgue函数的最值性质摘要：Floater和Hormann提出的有理重心插值具有很好的性质，在逼近论及相关领域中有重要的应用。对Floater和Hormann的插值方法，当d=2时，证明了插值节点等距时，其对应的Lebesgue函数的最大值在区间的两个端点处取到。关键词：有理重心插值；Lebesgue函数；逼近1引言Floater和Hormann[1]提出的重心有理插值具有很好的性质，在逼近论及相关领域中有重要的应用。有理插值对应的Lebesgue函数在区间[a,b]上的最大值称为Lebesgue常数[2]，它反映了有理插值的稳定性。Hormann等
2、研究过等距节点下Floater-Hormann有理重心插值的Lebesgue常数的上界和下界[3]。他们绘制的图形表明，对于不同的d，Lebesgue函数的最值所在的区间也不一样。当d=0及d=1时，Lebesgue函数在[a,b]的中点或中点附近取得最值。当d2时，Lebesgue函数应该在[a,b]的区间的两端取得最值，并且随着d值的增大，Lebesgue函数在两端取得最值的趋势越明显[3]，但他们没有从理论上证明这一现象。本文证明了当d=2时，Floater和Hormann重心有理插值所对应的最大值确实在端区间取到。2主要的结果和证明Floater-Hormann[
3、1]有理重心插值的基函数为(1)相应的Lebesgue函数定义为(2)（2）中的权重由下面的组合数给出考虑到对称性我们假定k[n/2]-1其中[x]代表不超过x的最大整数。当时,,令,从而Lebesgue函数可以表示为(3)KaiHormann[1]证明了（3）没有奇点，也就是说，。对于d=2，我们有：定理1.当d=2且k是正偶数时,并且。证明.由(3)我们得到当k为偶数，n是奇数时,n是奇数时，那么显然有。当k和n都是偶数时,同样有。所以，对于偶数k，对任意的n，都有.类似地我们可以证明，k是偶数时,。证毕。下面我们证明本文的主要结论:定理2.当d=2时，Floater
4、-Hormann有理重心插值对应的Lebesgue函数在两个端区间上取得最值。证明.当n是奇数时,=显然，因为是一个上的连续函数，所以在处取得最大值。当是奇数的时候,(4)对于(4),令,又,如前所述，近似在区间的中间部分取得最大值，所以我们考虑处获得的一个下界。(5)其中仿（4）式给出。那么,然而因此，假令,从而,类似的，我们可以得出由于,因此从而这也即说明采用同样的方法，当是偶数的时候，我们可以得出同样的结论。对于定理2的第二部分，当n是偶数的时候，==(6)=可见当n较大时，有略去较小的误差，我们近似可以看做.从而有，所以在处取得最大值。当是偶数的时候，(7)(8)
5、其中，，，以及，，，仿（4）式给出。采用定理2第一部分同样的分析方法，我们可以得出：且.因为,所以有>也即是有,这样我们就证明了定理2。3数值算例图1时的Lebesgue函数的个等距节点在时的图像图2时的Lebesgue函数在处的图像4数据分析令，它表示和之间的逼近程度，类似地可以定义:表3取不同的值，（5）和（6）式中和值的变化趋势493.99913.71313.7144-0.04%1.99973.20193.18490.53%793.90504.02394.02360.01%1.94003.59593.58220.38%993.94184.16964.16890.02
6、%1.96253.73933.72760.31%1993.95384.61774.61660.02%1.97004.18254.17530.17%4993.97725.20465.20380.02%1.98504.76614.76250.08%9993.99105.64895.64630.05%1.99405.20715.20510.04%99993.99557.11357.11340.00%1.99706.67246.67210.00%由表中的变化趋势可以看出，当和的值越接近的时候，的值就越接近的值，譬如将中的换成，可以计算出当n=49,79,99时的值分别为3.692
7、8,4.0066,4.1540，显然更接近于的值,因此在做插值逼近的时候，适当地对插值系数进行修正，可以得出更好的逼近效果.5结束语通过以上分析，证明了当d=2时等距插值节点对应的Lebesgue函数的最大值在区间的两个端点取到，进一步作图可以看到，当d2时，等距插值节点对应的Lebesgue函数都具有这个性质。等距节点的Lebesgue函数其他的一些优良性质，譬如对称性，最值的渐进性，还有切比雪夫节点、呈对数分布的插值节点的相应的一些性质还有待继续探究。参考文献[1]M.S.Floater,k.Hormann,Barycen
