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1、定积分的概念景德镇一中学数学组：操军华教学目标：知识与技能：⒈通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。学习重点：分割思想和定积分的基本性质学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法教学过程设计一、新课引入在小学与中学阶段我们学习了规则图形的面积求法，这一节课我们
2、来学习不规则图形面积的求法。它的求法跟定积分有关，定积分是微积分学的重要内容之一，定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．1曲边梯形的面积：在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，面对曲边梯形，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函数yf(x)在[a,b]上连续.y由曲线yf(x)与直线xa、xb、x轴所围成的图形称为曲边y=fx()梯形(图1).为讨论方便，假定f(x)0.I．分割12i
3、nOa=x0x1x2xi-1xixn-1xn=bx由于函数yf(x)上的点的纵图1坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间[a,b]分成n个小区间，即插入分点.ax0x1x2xnb在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小区间的长度为xixixi1,i1,2,,n.由于f(x)连续，故当xi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间[xi1,xi]上任取一点i，则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(i)，因此,这个小曲边梯形的面积Sif(i)xi.2,再求和Sn用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近
4、似值Si.i1II.近似代替由于f(x)连续，故当xi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间[xi1,xi]上任取一点i，则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(i)，因此,这个小曲边梯形的面积Sif(i)xi.III.求和得整个大曲边梯形面积的近似值nnSSif(i)xi.i1i1IV.取极限可以看出：对区间[a,b]所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A.记max{xi}，则当0时，误差也趋于零.因此，所求面积1innxi.(1)Slimf(i)01i设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)0，求以曲线yf(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A。3实际运
5、用中我们可以如下操作：1．化整为零用任意一组分点ax0x1xi1xixnb将区间分成n个小区间[xi1,xi]，其长度为xixixi1(i1,2,,n)并记max{x1,x2,,xn}相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为Ai,i1,2,,n。n于是AAii12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值Aif(i)xii[xi1,xi](i1,2,,n)3．积零为整，给出“整”的近似值nAf(i)xii14．取极限，使近似值向精确值转化nbAlimf(i)xif(x)dx0i1aAif(i)xi(Aif(i)xio(xi))通过对求曲边梯
6、形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。4二：课堂讲解1利用定积分的定义，计算x2dx的值.0分析：（1）分割（2）近似代替，作和（3）取极限讲解实录：三．定积分的定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点ax0x1x2xnb将[a,b]分成n个小区间，用xixixi1表示第i个小区间的长度，在[xi1,xi]上任取一点i，作乘积f(i)xi，i1,2,,n.再作和ni1f(i)xi.若当max{xi}0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，1in5并称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记作bf(x)d
7、x.即abnf(x)dxlimf(i)xi.(3)a0i1其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限.四：课堂例题五:课堂思考？b当f(x)0时,f(x)dx的几何意义又是什么？a下面讨论定积分的几何意义：I．若f(x)0，则积分bf(x)dx表示如图2所示的曲边梯形的面积，即abf(x)dxA．aII．若f(x)0，则积分bf(x)dx表示如图3所示的曲边梯形面积的负值，a即bf(x)d
