线性代数第五讲.doc

《线性代数第五讲.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§1.6若干特殊矩阵一、对称矩阵与反对称矩阵定义设A是n阶方阵。若，则称A是对称矩阵；若，则称A是反对称矩阵。例设A是任一n阶方阵，则是对称矩阵，是反对称矩阵。例设A是任一方阵，则A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。例设A与B是两个n阶对称矩阵，I是n阶单位矩阵。证明：若A与均可逆，则也是对称矩阵。证明只需证。▌二、对角矩阵定义下列主对角线以外的元素全为零的n阶方阵称为对角矩阵。对角矩阵通常简记为或当时，我们称之为数量矩阵。若k=1，则数量矩阵即是单位矩阵。例对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。例对角矩阵的和、差、积也是对角矩

2、阵。例对角矩阵A=可逆的充分必要条件是全不为零。当A可逆是，。定义设A是分块矩阵A=,若子块全是方阵，则称A是准对角矩阵，简记为。例设A是准对角矩阵则A可逆的充分必要条件是子块均可逆。当A可逆时，三、三角矩阵定义设A与B是两个n阶方阵则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。例三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为零。小结：1.熟练掌握矩阵的基本运算与性质加法、数乘、乘法、幂、转置2.熟练掌握初等行变换化阶梯形3.熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程4.熟练掌握Gauss消元法解的判别、求解例解矩阵方程的初等

3、变换法：（1）已知已知矩阵方程AX=B，其中A可逆。（A，B）（I，AB）=（I，X）（2）已知已知矩阵方程XA=B，其中A可逆。例已知矩阵与矩阵B。满足AX=B，求X。解（法一）由前例已得，故。（法二）（A，B）=，由此得X。▌例已知结论“若方阵A满足且，则A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对不正确的方法，请举例说明其问题所在：（法一）因为，故……………….①因为，故。于是由①得，A=O。因此A不可逆。（法二）反证：若A可逆，则由得，即。与已知条件矛盾。因此A不可逆。例可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。证

4、明对上三角矩阵的阶数作归纳法：设可逆，则容易得到，故结论对2阶上三角矩阵成立。：设结论对阶上三角矩阵成立。：证明结论对阶上三角矩阵成立。设若可逆，则均不为零，而也是上三角阵，故可逆。设是的逆矩阵，根据，对的分块，其中是阶方阵。因由此得因是阶可逆上三角矩阵，故由归纳法假设可得：的逆矩阵也是上三角矩阵。又可逆，故，又可得。于是也是上三角矩阵。▌例设A=是n阶方阵。若下列方阵，（称为A的顺序主子阵）均满秩，则A可表示成A=LU其中L是主对角元全为1的n阶下三角矩阵，U是n阶可逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解。对线性方程组若系数矩阵A存在三角

5、分解A=LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组对只需前代、对只需回代即可分别求解。例某林场计划种植供圣诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表：类售价高度段1（树苗）无2n林场管理者需面对两个问题：(1)经营活动（企业生产）的可持续性；(2)在可持续性的前提下，每年获得最大收益。讨论：(1)为满足此条件，要求：①每次只能采伐部分树木；②每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗；③补种后，树林的结构与生长期之前相同令表示生长期开始时，第类中树的棵数，称为非采伐向

6、量。显然，是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所确定。而即为保持可持续生产所应维持不变的树林结构。令表示第类树中在一个生长期内上升到第类中的比值，称为生长矩阵。这里由树木的品种、当地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定。因故表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的结构。令表示在一次采伐中，从第类中砍取的树木棵数，称为采伐向量。显然，表示在一次采伐中砍取的树木总量。令，则表示在一次采伐后应补种的树木的结构。于是，可持续生产的要求可表示为，即又故由得又，故由又可得。反之，若一个非负元素的列向量满足，则由和可确定一个非负元素的列向量

7、，并且与满足要求。据此，可确定一个持续的林场经营策略。▌例某林场要种植棵杉树。根据市场调查，这类杉树按高度分为类，售价分别为（单位：元）。已知这种杉树的生长矩阵为，由此可得。试确定一种合理的种植与采伐方案，并计算每次采伐所获收益。解取，则为非负列向量。易证，即满足公式且。于是，确定一个合理的种植与采伐方案，即是非采伐向量。利用，由得易证与满足要求，即是采伐向量。此时，一次采伐的收益为。▌(2)可以证明，上例中确定的方案一定获得最大收益。一般地，一次采伐只砍取某一类中的全部树木，则可获得最大收益。实际上，在安排种植计划时，应使在一个生长周

8、期内，树苗至多上升到该类，然后，再把此类(最高类)中的树木全部采伐完。第二章线性方程组§2.1向量的线性相关性一向量的定义及运算定义由n个数构成的n元有序数组称为n元向量，记为（），其中称为该向量的第i个分