线性代数六讲.doc

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1、线性代数六讲编者：赖宝锋2020这里，我们选取了考研线性代数经常出现的一些题型，结合历年真题以及一些典型例题，进行深入的讲解。第一讲行列式的计算行列式的计算，要充分地运用到行列式的性质以及各类求解行列式的方法，各种有用的公式来进行。这里要进行详细的总结。1.行列式的基本性质行列式的基本性质，归结起来是如下5条，1条转置性，1条可加性，3条初等变换性质。①经转置以后行列式的值保持不变。②两行/列互换，行列式变为相反数。③某行/列有公因数，可以把提到行列式之外。④某行/列的倍加到另一行/列上，行列式值不变。⑤某行/列的所有元

2、素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。简单的推论：①行列式若有两行或两列成比例(一个特例是相等)，则该行列式为零。②。2.行列式的按行/列展开顺便的，任一元素余子式与元素所在行、列的元素均无关，因此导出了有用的替换法则：,20也就是说，求任意行/列的代数余子式的加权和，只要将其加权系数替换相应的行/列，即可。，，按照上面的方法，问题也得到了解决。进一步，由上面所说的替换法则，有如下的重要事实，更进一步，因此，有了3.拉普拉斯展开按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例，一般情况下，它是很复杂的，但有时

3、对于解决某些问题很有帮助。这里，要简单叙述一下。①行列式的子式与余子式任取行列式的第行和第列，则其交叉点元素按原来的相对顺序组成的行列式称为原行列式的一个阶子式。显然，行列式任何一个元素都是一个一阶子式。划去这个阶子式所在行与列的所有元素后剩余的元素按原来的相对顺序组成的行列式称为这个子式的余子式。例如：，为其一个二阶子式，而6为其余子式。②拉普拉斯展开定理，为取自第行的阶子式，为其相应的余子式，为所在的列。，为取自第行的阶子式，为其相应的余子式，为所在的行。显然，按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例。20例如：。用

4、拉普拉斯展开可以简捷明了地说明如下事实：①,②，，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。4.行列式计算的基本方法总结①用逆序法定义理论分析的时候较为有用，运算量太大，太过于复杂，因此一般不用于计算。如果要用来计算，需要零比较多的时候合适。例如我们用逆序法定义可以导出三角形的行列式的值。逆序法定义指出，行列式是其元素的连续函数，这一点很重要。②初等变换法利用行列式的初等变换性质进行变换。但注意，只有第三个性质，才能保持行列式的值不变。③按行/列展开法计算行列式的基本方法。计算的时候选择零较多的行或列进行展开方便。一般地，要与初等变换一

5、起用。④拉普拉斯展开一般来说是很麻烦的，只在一些特殊情况下好用。⑤递归法一般用于有自相似结果的行列式，导出递归方程，而后求解递归方程而得到行列式值。范德蒙行列式的求解就是一个经典的例子。此法的关键在于寻找自相似结构和导出递归方程。⑥特征值法依据是矩阵的行列式为其特征值的乘积，一般用于抽象行列式。205.行列式的一些重要公式①，以及二者的一个特例：上三角，下三角，对角行列式等于其主对角元的乘积。②，以及二者的一个特例：③，以及二者的一个特例：④，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。以及二者的一个特例：，其

6、中，为阶矩阵，为阶矩阵。⑤⑥，⑦相似的矩阵行列式相同6.一些特殊的行列式求法20①范德蒙行列式共有项。例1.计算。【详解】②行/列和相等型的行列式当行列式每一行的元素之和相等时，计算时将各行全部加到第一列，从第一列中提取公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶。显然，如果各行之和均为零，则该行列式必然为零。列和相等型的行列式也有类似的做法。(或转置下，成行和相等型)例1.求。【解答】20③爪型行列式的计算求。【详解】(1)若均非零。(2)对于有零的情形，我们可以由行列式对元素的连续性，取非零数列，使得，则20特别地，如果

7、，则。因此，如果中至少有两个为零，则行列式必然为零。例1.求行列式。【详解】④三对角行列式的计算如下行列式称为三对角行列式以下讲解求之的办法。20令，则这就导出了一个二阶线性齐次差分方程。二阶线性齐次差分方程的一般形式是：其解法与二阶线性齐次微分方程极为类似。①写出递归递归方程的特征方程，求出两根。②若，则通项为；若，则通项为。③根据初始条件决定未知参数。关于二阶线性齐次差分方程的了解，请参加附录1。例1.设是阶矩阵，证明：。【详解】20记，则，其特征方程为，其两根为，因此，。，，若，则。若，这样，，。的情形显然也满足这

8、个公式，因此，。(其实，由连续性，这是必然的)另一种证明方法是数学归纳法，这里不赘述。区别在于前法是不知结论时导出结论，后法是已知结论时证明结论。⑤自相似的行列式这是个很大的类。范德蒙行列式经过变换，有自相似结构。前面诸多例子，其实也多有自相似结构。求解它的办法就是根据自相似结构建立递归方程，而后求解递归方程。例1.