2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数.doc

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1、2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数一、选择题1．集合=A．B．{1}C．{0,1,2}D．{-1,0,1,2}2．下列函数中，在R上单调递增的是A．　B．C．D．3．函数f(x)=x2+ax－3a－9对任意x∈R恒有f(x)≥0，则f(1)＝A．6　　B．5　　C．4D．34．已知，则在下列区间中，有实数解的是A．（－3，－2）B．（－1，0）C．（2，3）D．（4，5）5．设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是二、填空题6．函数的定义域是．7．.8．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是．9．定义运

2、算法则如下：；若，，则M＋N＝　　　　．10．若函数在区间上的最大值为4，则的值为_________.三、解答题：11．已知二次函数．（1）判断命题：“对于任意的R（R为实数集），方程必有实数根”的真假，并写出判断过程（2），若在区间及内各有一个零点．求实数a的范围12．设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极值.13.设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.14.已知函数f(x)＝ex－e－x

3、－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；(3)已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001)．14.设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以

4、证明．2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数参考答案一、选择题：题号12345选项CACBD二、填空题：6.；7.；8.；　9.5；　10.1或–1三、解答题：11．解：（1）“对于任意的R（R为实数集），方程必有实数根”是真命题；依题意：有实根，即有实根对于任意的R（R为实数集）恒成立即必有实根，从而必有实根（2）依题意：要使在区间及内各有一个零点只须…………（9分）即解得：12．解：（1）则；；所以，于是有故曲线在点处的切线方程为：(2)由（1）知，令；于是函数在上递减，上递增，上递减；所以函数在处取得极小值，在处取

5、得极大值.13．解：⑴当时，任意，则∵，，∴，函数在上是增函数.当时，同理函数在上是减函数.⑵21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋ex－1，从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值

6、为g＝－.设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.当时，，则；当时，，则.14．21．，，，[2014·陕西卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x

7、)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．

8、由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，则φ′(x)＝－＝，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，