对两道国家集训队试题的探究.doc

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1、2006年第7期中等数学21～23对两道国家集训队试题的探究贺斌(湖北省谷城县第三高级中学,441700)1题好解巧易推难证下面两道国家集训队试题及其解答颇耐人寻味.题1在首项系数为1的二次函数中，找出使取最小值的函数表达式.（1990，中国数学奥林匹克国家集训队试题）题2记.当a、b、c取遍所有实数时，求F的最小值.（2001，中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试）注意到，题2可等价转化为题3。题3记.当a、b、c取遍所有实数时，求F的最小值.文[1]对题1的解答为（表述略有改动）：令，则.当且仅当,即时,上式等号成立.故,此时,.

2、文[2]注意到了题2与题3的等价性,并给出了题3的解答(表述有改动,并略去题2的解答):52006年第7期中等数学21～23令,则.当且仅当即时,上式等号成立.故,此时,.由题1及题3,通过类比,有如下推广.题4在首项系数为1的次实系数多项式中,找出使取得最小值的函数表达式,并求M的最小值.题4在的情况下是否有解?在有解的情况下,如何找到满足题4要求的和M的最小值?仅仅通过简单模仿文[1]、[2]的解答难以奏效，它需要我们对文[1]、[2]的解法有实质性理解，并进行细致探究。2以退为进寻觅本质反思文[1]对题1、文[2]对题3的解答

3、过程，容易发现两文放缩成功的关键在于如下的两个恒等式成立：对于任意首项系数为1的二次实系数多项式，有①对于任意首项系数为1的三次实系数多项式，有②解决题4的困难在于：我们不知道对于一般的首52006年第7期中等数学21～23项系数为1的n次实系数多项式，是否存在类似式①、②的恒等式？如果存在，又是什么样子？文[1]对题1、文[2]对题3的解答，使我们猜想恒等式①、②中所涉及的自变量的值1、0、-1及1、、-、-1应该隐藏着某种特殊规律。仔细推敲后发现，如果令（因为，则1、0、-1及1、、-、-1可分别写为及，而且满足题1、题3的多项

4、式可分别写为此乃题1、题3之本质。于是，得到如下两个命题：命题1设.则对于任意首项系数为1的次实系数多项式，有③命题2是使题4中的M取得最小值的唯一n次实系数多项式.先证明命题1.证明：设（其中），则式③左边为52006年第7期中等数学21～23注意到的任意性，于是，只须证明上式的证明见文[3]，故命题1成立.下面证明命题2.证明：记由欧拉公式有而,故是首项系数为1的次实系数多项式.对于任一首项系数为1的n次实系数多项式,据命题1有52006年第7期中等数学21～23当且仅当即时，上式等号成立.而故是使M取得最小值的多项式由于n次多

5、项式的个系数由唯一确定，故是唯一的.综上，命题2获证.据命题1、2，题4的解答已无须赘言.参考文献：[1]郝保国.怎样解复合最值问题[Ｊ].中等数学，1997（5）.[2]杨日武.一道竞赛题的简解[ＪJ.中等数学，2002（3）.{3}张树胜.一个条件等式—有奖解题擂台(62–2)解答[Ｊ].中学数学教学,2005(3)5