二次函数复习学科导学案.doc

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1、中小学1对1课外辅导专家知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a>0)(1)x1<α,x2<α,则;(2)x1>α,x2>α,则(3)αb(α

2、(5）若f(x)=0在区间(α,b)内只有一个实根，则有4最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①f(x)=a

3、x2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是题型讲解例1函数是单调函数的充要条件是（　）ABCD解：∵函数的对称轴，15龙文教育无锡训导部中小学1对1课外辅导专家∴函数是单调函数，故选A例2　已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且

4、过点，求函数的解析式解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，，∴例3　已知函数的最大值为，求的值分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或例4已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为15龙文教育无锡训导部中小学1对1课外辅导专家则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或∴

5、函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为例5　设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令从而知（2）由　　即　，∴又因为（3）当15龙文教育无锡训导部中小学1对1课外辅导专家由解得点评　注意：且,这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6　设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1

6、，求｜A1B1｜的取值范围；证明（1）：∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0∴f(1)=a+b+c=0又a＞b＞c　　∴3a＞a+b+c＞3c　　∴a＞0,c＜0由∴Δ=(b－a)2－4a(c－b)＝(b+a)2－4ac＞0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=－,x1x2=,由题意，｜A1B1｜=｜x1－x2｜===　　　＝=∵a＞b＞c,a+b+c=0∴a＞－(a+c)＞c∴－2＜＜－∴｜A1B1｜的取值范围是（，2）例7

7、　是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有xf(x)”解：a=c=,b=例8　设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当15龙文教育无锡训导部中小学1对1课外辅导专家（1）求f(x)的表达式（2）对于任意解：（2）例9　设函数f(x)=

8、x－a

9、－ax，其中0

10、对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点