高数下册第二讲.ppt

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1、§3n阶行列式的定义n阶行列式的概念的引入n阶行列式的定义例题详解小结概念的引入三阶行列式三阶行列式可以写成：n阶行列式的定义(1)n阶行列式是n!项的代数和;(2)n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;注意：Determinant1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;说明例1证明对角行列式下三角形行列式上三角形行列式例2计算行列式例3计算下列行列式1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数

2、和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.小结思考题已知思考题解答解含的项有两项,即对应于§4对换一、对换的定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。定义例如将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.先证相邻对换的情形当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加

3、1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当时，对换改变排列的奇偶性设排列为现来对换与再证一般对换的情形次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.对于n阶行列式的任意一项为t为排列p1…pi…pj…pn的逆序数，故这时,行标1…i…j…n1…j…i…n列标

4、p1…pi…pj…pnp1…pj…pi…pnrt1定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.定理3阶行列式也可定义为其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1判断是否为6阶行列式中的项.列标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.解(1)(2)行标与列标的逆序数之和为所以不是六阶行列式中的项.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.思考题解答证设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证.将个奇排列

5、的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有故必有§5行列式的性质行列式的性质行列式的性质的应用小结一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.记证明性质1行列式与它的转置行列式相等.Transpose证明按定义性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式是由行列式变换两行得到的,即当时,当时,于是则有设故例如推论如果行列式有两

6、行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2若行列式中一行全为零，则行列式为零。性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如运算符号：交换行列式两行（列

7、），记作行列式第i行（列）乘以数k，记作以数k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，记作二、应用举例例1解例2解思考题答案为：0作业P26利用行列式的性质计算行列式4、（2）（4）